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2016年华北电力大学692数学分析考研大纲

  科目代码:692
  科目名称:数学分析

  一、考试的总体要求
  《数学分析》是一门重要的数学基础课程,由分析基础、一元函数微分学和积分学、级数、多元函数微分学和积分学等部分组成。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握数学分析的基本思想和方法,并具有抽象思维能力、逻辑推理能力、计算论证能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

  二、考试的内容
  1.分析基础
  (1)实数理论
  要求了解实数公理;理解上确界和下确界的意义;掌握绝对值不等式及平均值不等式;掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性等特殊性质。
  (2)数列极限
  掌握数列极限与函数极限的概念,理解无穷大(小)量的概念及基本性质;
  掌握极限的性质(唯一性、有界性、保号性)及四则运算性质、单调有界收敛定理、Cauchy收敛准则、迫敛性(两边夹、夹挤)原理、两个重要极限;数列极限的概念与性质,单调有界定理与柯西收敛原理
  (3)函数极限
  函数极限的概念与性质,柯西收敛原理,两个重要极限,无穷大量与无穷小量
  (4)函数的连续性
  连续的概念与性质,闭区间上连续函数的性质:有界性、最值性、介值性(零点定理)、一致连续性。
  (5)多元函数的极限与连续性
  2.一元函数微分学
  (1)导数和微分
  理解可导与可微、可导与连续的概念及其相互关系,理解导数的几何意义;理解函数极值点与极值、凸性、拐点等概念;
  掌握(高阶)导数、微分的四则运算与复合函数求导运算法则;掌握左、右导数的概念以及分段函数求导方法,掌握导函数的介值定理;
  会用导数研究函数的单调性与极值性,会用二阶导数研究函数的凸性与拐点。
  (2)微分中值定理
  掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式极限(洛必达法则)等方面的应用;
  掌握泰勒公式及其在极限、极值点判定等方面的应用;
  掌握极值与最值的求法、凸的等价定义、以及凸性在不等式等方面的应用。
  3.实数的完备性
  区间套、聚点、开覆盖的概念。
  (1)理解聚点概念及其刻画,理解区间套、开覆盖等概念;
  (2)理解关于实数完备性的六大基本定理及其证明思想;
  (3)会用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性(零点定理)、一致连续性。
  4.一元积分学
  (1)不定积分
  掌握原函数、不定积分的概念及其基本性质;
  熟记不定积分的基本公式,掌握换元积分法和分部积分法,会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
  (2)定积分
  定积分的概念与性质,可积条件,牛顿---莱布尼茨公式,换元法与分部积分法,积分中值定理,微积分基本定理
  掌握定积分的概念、可积条件、可积函数类;
  掌握定积分的性质,熟练掌握微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理;掌握变上限积分的性质。
  (3)定积分的应用
  能用定积分计算平面图形的面积、弧长、旋转体的体积与侧面积以及一些物理量的计算。
  (4)反常积分
  反常积分的概念与性质,收敛判别法。
  要求理解反常积分收敛的概念、Cauchy收敛准则,掌握反常积分收敛性的比较判别法,狄利克雷判别法、阿贝尔判别法。
  5.级数
  (1)数项级数
  正项级数,交错级数,一般项级数,要求熟练掌握级数收敛性的判别法
  (2)函数项级数
  要求会求收敛半径,收敛域,判断一致收敛性,熟练掌握一致收敛的函数项级数的性质
  (3)幂级数
  要求掌握幂级数的概念与性质,会求函数的幂级数展开式
  (4)傅立叶级数
  掌握周期函数傅立叶级数的展开与收敛性的判别。
  6.多元微分学
  (1)偏导数与全微分
  可微性,偏导数,高阶偏导数,链式法则,方向导数与梯度
  (2)多元微分学的应用
  中值定理,泰勒公式,极值与条件极值,隐函数定理及应用
  (3)含参变量的积分
  7.多元积分学
  (1)重积分
  二重积分的定义,计算与变量替换,三重积分的定义,计算与变量替换
  (2)曲线积分
  第一型曲线积分,第二型曲线积分,格林公式
  (3)曲面积分
  曲面的面积,第一型曲面积分,第二型曲面积分,高斯公式,斯托克斯公式

  三、考试的题型:
  判断题、填空题、计算题、证明题、综合分析题等。

  (实习编辑:魏明瑞)

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