2015年南开大学070101基础数学考研大纲

　　(六)线性空间
　　考试内容
　　集合与映射的基本概念；线性空间的概念与基本性质；线性空间的维数、基与向量的坐标；线性空间中的基变换与坐标变换；过渡矩阵；线性子空间及其运算；线性空间的同构。
　　考试要求
　　1.熟悉集合与映射的概念。
　　2.理解线性空间的概念，掌握线性子空间的判定方法。
　　3.理解线性空间的维数、基和坐标。
　　4.掌握线性空间的基变换和坐标变换及过渡矩阵。
　　5.理解生成子空间的概念，掌握求子空间基和维数的方法。
　　6.理解子空间的交、和、直积运算及其性质。
　　7.了解线性空间同构的概念，了解同构映射的性质。
　　(七)线性变换
　　考试内容
　　线性变换的概念和简单性质；线性变换的运算；线性变换的矩阵；线性变换（矩阵）的特征值、特征向量和特征子空间；线性变换的特征多项式及Hamilton-Caylay定理；矩阵相似的概念及性质；矩阵可对角化的充分必要条件；线性变换的值域与核；线性变换的不变子空间。
　　考试要求
　　1.理解线性变换的概念，了解线性变换的性质。
　　2.熟悉线性变换的运算及其性质。
　　3.理解线性变换的矩阵，了解线性变换与矩阵的对应。
　　4.理解线性变换及其矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念及性质，会求线性变换及矩阵的特征值和特征向量。
　　5.了解关于特征多项式的Hamilton-Caylay定理，了解矩阵的迹。
　　6.理解线性变换的特征子空间、线性变换的不变子空间的概念。
　　7.理解矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的充分必要条件。掌握将矩阵化为对角矩阵的方法。
　　8.理解线性变换的值域、核、秩、零度的概念。
　　(八)λ-矩阵
　　考试内容
　　λ-矩阵的概念；λ-矩阵的初等变换；λ-矩阵间的等价概念及等价的充分必要条件；λ-矩阵在初等变换下的标准形；λ-矩阵的行列式因子、不变因子及两者之间的关系；矩阵相似的条件；初等因子的概念；复方阵的若当标准形。
　　考试要求
　　1.了解λ-矩阵的秩、可逆等概念。
　　2.理解λ-矩阵的初等变换、等价等概念，掌握判定λ-矩阵等价的充分必要条件。
　　3.会用初等变换求λ-矩阵的标准形。
　　4.掌握λ-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念及三者之间的关系。
　　5.掌握两个矩阵相似的充分必要条件。
　　6.了解复方阵的若当标准形。