2015年中国海洋大学070101基础数学考研大纲

　　实变函数
　　一、考试性质
　　《实变函数》是中国海洋大学计算数学专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。
　　二、考试目标
　　实变函数是近代分析数学的基础，是数学分析的延续与拓广。考试以考察基本知识为主，考核对重要定理的理解和应用。
　　三、考试形式
　　(一)试卷满分及考试时间
　　本试卷满分为100分，考试时间为120分钟
　　(二)答题方式
　　答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，答案必须写在答题纸上。考生不得携带计算器。
　　(三)试卷结构
　　填空题与简答题占35%，证明题占65%。
　　四、考试内容
　　（一）集合论
　　1集合的各种运算，上、下限集的定义
　　2集合的对等，集合的基数，集合的可列性；
　　3开集、闭集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性质；点集的内部、导集、闭包、边界；Cantor三分集的结构和性质；
　　4点到集合的距离，集合间的距离。
　　（二）可测集
　　1.外测度、测度和可测集的概念及其性质，集合可测性的判别方法；
　　2.开集、闭集的可测性，以及它们与可测集之间的联系。
　　（三）可测函数
　　1.可测函数的概念及其性质；
　　2.函数可测性的判别方法，其与简单函数的联系；
　　3.可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛、测度收敛）；
　　4.可测函数和连续函数的联系
　　5.叶果洛夫定理、里斯定理、鲁津定理的含义及应用；
　　（四）Lebesgue积分
　　1.Lebesgue积分的定义及其性质，函数可积性的判定；
　　2.积分收敛定理（勒维定理，法杜定理和Lebesgue控制收敛定理，Vitali定理）及应用；
　　3.Riemann积分与Lebesgue积分之间的区别和联系；Fubini定理。

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