2015年南京航空航天大学070101基础数学考研大纲

1. 量子力学的实验基础
原子光谱，黑体辐射，光电效应，固体比热，戴维逊——革末实验，电子的双缝衍射和单缝衍射 ， 衰变，夫兰克——赫兹实验，斯塔克效应，光谱的精细结构，卢瑟福实验，正常和反常塞曼效应，斯特恩——盖拉赫实验，电子自旋共振，核磁共振
2．量子力学的基本原理
波函数的概率诠释（波函数的标准条件），叠加原理，薛定谔方程，力学量用算符表示（正交归一性），全同性原理
3．一维问题
有限和无限深势阱，势垒和势阱的散射（隧道效应），线性谐振子，宇称；
4．角动量理论
轨道角动量（平面转子和空间转子，氢原子，球方势阱），自旋角动量，角动量的耦合，泡利原理，单态和三重态，波函数的对称性；
5．守恒定律和测不准关系
6．态和力学量的表象
量子力学公式的矩阵表示，幺正变换，狄拉克符号
7．微扰理论
简并和非简并的定态微扰，含时微扰（积分和矩阵形式），选择定则
8．散射理论
散射截面，分波法，玻恩近似

一元多项式：带余除法与辗转相除法，整除性，公因式与最大公因式及其计算，多项式的互素与判别法，不可约多项式，多项式的因式分解与标准分解式，重因式的判别法，多项式的根，实系数多项式的性质。
行列式：性质，按任意一行（列）的展开公式，乘法规则，计算行列式的常用方法，求解线性方程组的克兰姆法则。
矩阵与线性方程组：矩阵之秩，伴随矩阵的性质，逆矩阵，实对称矩阵的性质，矩阵的分块运算及初等矩阵；线性方程组有解的判别定理，基础解系及通解。
实二次型：标准形与规范形，唯一性定理，正定二次型与正定矩阵，正定矩阵的性质。
线性空间和线性变换：定义，向量系的相关性与秩，基与维数，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和及直和，线性空间的同构，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，线性变换的值域与核，不变子空间，内积与正交性，欧氏空间与酉空间的标准正交基，正交变换与酉变换，正交补空间。
入-矩阵：不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，约当标准形，最小多项式。

I. 数值分析
1)绪论
误差的基本概念，稳定性，收敛性及相容性；
2)插值法
插值多项式的存在唯一性，拉格朗日插值、牛顿插值及三次样条插值多项式；
3)函数逼近与计算
最佳一次逼近、最佳平方逼近多项式，曲线拟和的最小二乘法；
4)数值积分
梯形公式，辛普生公式，柯特斯公式及相应的复化求积公式，龙贝格公式；
5)方程求根
二分法，一般迭代法，牛顿迭代法，弦截法，迭代法的收敛性
6)线性方程组的求解方法
高斯（主元）消去法，向量和矩阵的范数，矩阵的条件数，误差分析，雅克比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，迭代法的收敛性；
7)常微分方程的数值解法
改进的欧拉公式，龙格-库塔公式及二阶龙格-库塔公式精度分析，单步法的收敛性和稳定性。
II. 常微分方程
《常微分方程》是数学专业的基础课，也是常微分方程学科本身近现代发展方向的基础。考试以经典传统内容为主要部分，也包括稳定性理论问题中的重要内容。
具体涉及
1）一阶常微分方程的初等解法：分离变量法；常数变易法；积分因子法等。
2）一阶常微分方程解的存在唯一性定理，近似计算和误差估计等。
3）高阶常微分方程：常系数微分方程的解法；非齐次线性微分方程拉普拉斯法，高阶微分方程的降阶解法等。
4）线性常微分方程组：线性微分方程组的存在唯一性定理；常系数线性微分方程组的求解等。
5）非线性常微分方程和稳定性：稳定性的基本概念；相平面；非线性微分方程组的稳定性与其线性近似方程组；李雅普诺夫第二方法等
III．概率论与数理统计
本科目考查概率论与数理统计基本知识、基本概念、基本方法；检查考生对概率统计知识和方法的灵活运用。考试内容：
1）随机事件与概率：样本空间与事件、古典概型、概率空间、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式；
2）分布函数：分布函数及性质、边缘分布、独立随机变量、随机变量函数的分布（和的分布，商的分布，顺序统计量分布）；
3）数字特征：包括数学期望、方差、多维随机变量函数的数字特征；
4）极限定理：包括大数定律、依分布收敛的充分必要条件、中心极限定理；
5）参数估计与假设检验：包括矩法与极大似然法、无偏性与有效性、区间估计；期望与方差的检验、分布函数的拟合检验；
6）线性模型与方差分析：一元性性回归、回归系数的假设检验、单因子方差分析。