2015年南京航空航天大学071101系统理论考研大纲

力学：质点运动的描述，圆周运动，相对运动，牛顿运动定律，质心和质心运动定理，动量定理和动量守恒定律，功、动能和动能定理，保守力，势能，质点系的功能原理，保守力与非保守力，势能，机械能守恒定律，质点系的角动量和角动量守恒定律；刚体的定轴转动，力矩，刚体的转动惯量、定轴转动定律、定轴转动中的功能关系、角动量定理和角动量守恒定律。
热学：理想气体状态方程，理想气体的压强和温度，能均分定理，理想气体的内能，麦克斯韦速率分布律、，热力学第一定律以及对理想气体准静态过程的应用，循环过程，卡诺循环，热力学第二定律。
电磁学：库仑定律，电场强度，电场强度通量和高斯定理，电场强度与电势梯度的关系，电容器的电容，静电场中的电介质，有电介质时的高斯定理，电位移，静电场的能量；磁感应强度，毕奥-萨伐尔定律，稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理，带电粒子在电场和磁场中的运动，磁场对载流导线的作用，磁场强度，有介质时的安培环路定理；电磁感应定律，动生电动势，感生电动势和感生电场，自感应和互感应，磁场的能量。
振动和波动：简谐运动，一维谐振动的合成，平面间谐波的波函数，波的能量和强度，波的叠加原理，波的干涉、驻波，多普勒效应。
光学：杨氏双缝干涉，光程和光程差，薄膜干涉，迈克耳孙干涉仪，单缝夫琅禾费衍射，圆孔夫琅禾费衍射 光学仪器的分辨本领，光栅衍射，光的偏振状态，起偏和检偏，马吕斯定律，反射和折射时光的偏振。

映射与函数，极限与连续，一元函数的微分学及应用，不定积分，定积分的理论、

计算及其应用，实数的完备性，紧集上的连续函数的性质，级数与广义积分，一致收敛，

富氏级数，多元函数微分学及应用，重积分，曲线积分与曲面积分，微分形式与场论。

一元多项式：带余除法与辗转相除法，整除性，公因式与最大公因式及其计算，多项式的互素与判别法，不可约多项式，多项式的因式分解与标准分解式，重因式的判别法，多项式的根，实系数多项式的性质。
行列式：性质，按任意一行（列）的展开公式，乘法规则，计算行列式的常用方法，求解线性方程组的克兰姆法则。
矩阵与线性方程组：矩阵之秩，伴随矩阵的性质，逆矩阵，实对称矩阵的性质，矩阵的分块运算及初等矩阵；线性方程组有解的判别定理，基础解系及通解。
实二次型：标准形与规范形，唯一性定理，正定二次型与正定矩阵，正定矩阵的性质。
线性空间和线性变换：定义，向量系的相关性与秩，基与维数，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和及直和，线性空间的同构，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，线性变换的值域与核，不变子空间，内积与正交性，欧氏空间与酉空间的标准正交基，正交变换与酉变换，正交补空间。
入-矩阵：不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，约当标准形，最小多项式。

I. 数值分析
1)绪论
误差的基本概念，稳定性，收敛性及相容性；
2)插值法
插值多项式的存在唯一性，拉格朗日插值、牛顿插值及三次样条插值多项式；
3)函数逼近与计算
最佳一次逼近、最佳平方逼近多项式，曲线拟和的最小二乘法；
4)数值积分
梯形公式，辛普生公式，柯特斯公式及相应的复化求积公式，龙贝格公式；
5)方程求根
二分法，一般迭代法，牛顿迭代法，弦截法，迭代法的收敛性
6)线性方程组的求解方法
高斯（主元）消去法，向量和矩阵的范数，矩阵的条件数，误差分析，雅克比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，迭代法的收敛性；
7)常微分方程的数值解法
改进的欧拉公式，龙格-库塔公式及二阶龙格-库塔公式精度分析，单步法的收敛性和稳定性。
II. 常微分方程
《常微分方程》是数学专业的基础课，也是常微分方程学科本身近现代发展方向的基础。考试以经典传统内容为主要部分，也包括稳定性理论问题中的重要内容。
具体涉及
1）一阶常微分方程的初等解法：分离变量法；常数变易法；积分因子法等。
2）一阶常微分方程解的存在唯一性定理，近似计算和误差估计等。
3）高阶常微分方程：常系数微分方程的解法；非齐次线性微分方程拉普拉斯法，高阶微分方程的降阶解法等。
4）线性常微分方程组：线性微分方程组的存在唯一性定理；常系数线性微分方程组的求解等。
5）非线性常微分方程和稳定性：稳定性的基本概念；相平面；非线性微分方程组的稳定性与其线性近似方程组；李雅普诺夫第二方法等
III．概率论与数理统计
本科目考查概率论与数理统计基本知识、基本概念、基本方法；检查考生对概率统计知识和方法的灵活运用。考试内容：
1）随机事件与概率：样本空间与事件、古典概型、概率空间、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式；
2）分布函数：分布函数及性质、边缘分布、独立随机变量、随机变量函数的分布（和的分布，商的分布，顺序统计量分布）；
3）数字特征：包括数学期望、方差、多维随机变量函数的数字特征；
4）极限定理：包括大数定律、依分布收敛的充分必要条件、中心极限定理；
5）参数估计与假设检验：包括矩法与极大似然法、无偏性与有效性、区间估计；期望与方差的检验、分布函数的拟合检验；
6）线性模型与方差分析：一元性性回归、回归系数的假设检验、单因子方差分析。

固体物理部分：
晶体结构与对称性（含晶体、准晶体、晶体表面的结构，晶体的宏观、微观对称性，晶体的正、倒格子描述）；
固体的结合（离子性结合、共价结合、金属性结合、氢键结合、范德瓦尔斯结合等）；
晶格振动（晶格振动的经典和量子性描述，长波近似，晶格振动的模式密度）；
晶体的热学性质（晶体热容，热传导，热膨胀）；
能带理论（Bloch定理，微扰论，赝势法，紧束缚法，能带的对称性，能态密度和费米面）；
晶体中电子在电场和磁场中的运动（电场、恒定磁场下电子的运动及其特殊效应，导体、半导体、绝缘体的能带论解释）；
金属电子论（费米统计和电子热容，玻尔兹曼方程及其对输运的描述，晶格散射和电导，金属-绝缘体转变）.
光学部分：
光的干涉：波动的独立性、叠加性和相干性，由单色波叠加所形成的干涉图样，分波面双光束干涉，等倾干涉、等厚干涉，迈克耳孙干涉仪；
光的衍射：惠更斯一菲涅耳原理，菲涅耳半波带菲涅耳衍射，夫琅禾费单缝衍射，平面衍射光栅
光的偏振：自然光与偏振光，线偏振光与部分偏振光，双折射现象，椭圆偏振光和圆偏振光

原子物理部分：
原子的能级和辐射：原子光谱，玻尔的氢原子理论，夫兰克－赫兹实验，量子化通则，史特恩－盖拉赫实验与原子空间取向的量子化
碱金属原子和电子自旋：碱金属原子的光谱，原子实的极化和轨道，碱金属光谱的精细结构，自旋同轨道相互作用，辐射跃迁的选择定则，精细结构与蓝姆移动；
多电子原子：具有两个价电子的原子态，泡利原理与同科电子，复杂原子光谱的一般规律，辐射跃迁的普用选择定则
磁场中的原子：原子的磁矩，，外磁场对原子的作用，顺磁共振，塞曼效应
原子的壳层结构：元素性质的周期性变化，原子的电子壳层结构，原子基态的电子组态