2015年大连海事大学070100数学考研大纲

　　考试科目：高等代数
　　试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
　　考试内容
　　一、多项式
　　1.多项式的带余除法、整除性，最大公因式、互素多项式。
　　2.不可约多项式，因式分解唯一性定理，重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式不可约的判定。
　　3.多项式函数与多项式的根，有理系数多项式有理根的求法，根与系数关系。
　　二、行列式
　　1．n阶行列式的概念和基本性质，行列式的子式、余子式以及代数余子式。
　　2．行列式按行(列)展开定理，Vandermonde行列式，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘积法则。
　　3.行列式的计算。
　　三、线性方程组
　　1.向量空间。
　　2．向量组的线性相关与线性无关。
　　3．向量组的极大线性无关组，向量组的秩。
　　4．等价向量组的概念和性质。
　　5．矩阵的秩。
　　6．求解线性方程组的消元法。
　　7．线性方程组有解的判定，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
　　8．齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间。
　　9．非齐次线性方程组的解向量的性质和通解。
　　四、矩阵
　　1．矩阵的加法、乘积、方幂、转置等运算及性质。
　　2．矩阵的初等变换，等价矩阵，等价标准形。
　　3．初等矩阵的概念和性质。
　　4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，用伴随矩阵及初等变换求逆矩阵。
　　5．分块初等矩阵及应用。
　　五、二次型
　　1．二次型的矩阵表示及秩。
　　2．用可逆线性变换化二次型为标准形(配方法，初等变换法)。
　　3．合同矩阵、对称阵在合同变换下的标准形。
　　4．用正交变换化二次型为标准型。
　　5．一般数域、复数域、实数域上二次型的标准形和规范形，惯性定理。
　　6．正、负定二次型(或正、负定矩阵)的判定。
　　六、线性空间
　　1．线性空间、基底、维数及坐标等概念。
　　2．线性子空间及其交与和的基与维数。
　　3．线性空间的基变换和过渡矩阵。
　　4．线性子空间的直和。
　　5．线性空间的同构。
　　七、线性变换
　　1．线性变换的概念及矩阵表示，线性变换的运算及在给定基下的矩阵。
　　2．线性变换（矩阵）的特征值与特征向量的概念、性质。
　　3．相似变换、相似矩阵的概念及性质。
　　4．线性变换（矩阵）可相似对角化的充分必要条件，相似对角矩阵。
　　5．正交矩阵、实对称阵及其性质。
　　6．象子空间与核子空间的基与维数。
　　7．不变子空间。
　　8．Hamlton-Cayley定理，Jordan标准形，最小多项式。
　　八、-矩阵
　　1.-矩阵的初等变换，-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子以及三种因子之间的关系。
　　2.-矩阵的等价与数字矩阵的相似。
　　3.Jordan标准型的理论推导。
　　九、欧氏空间
　　1．向量的内积、范数、夹角。
　　2．Schmidt正交化过程，规范正交基。
　　3．正交子空间和正交补。
　　4．正交变换和对称变换的概念和性质。
　　5.实对称阵正交相似于对角阵的计算。
　　参考书目
　　1．课程教材：《高等代数》（第三版），北京大学数学系编，高等教育出版社，2003年。
　　2．参考资料：徐仲等编，《高等代数导教、导学、导考(第3版)》，西北工业大学出版社，2006年。
　　3．参考资料：《高等代数习题课辅导》，大连海事大学数学系自编辅导书，2014年。
　　考试科目：概率论与数理统计
　　试卷满分及考试时间:试卷满分为100分，考试时间为120分钟。
　　考试内容
　　一、随机事件与概率
　　【知识点提示】熟练掌握随机试验，样本空间，样本点，事件与事件的运算，概率的定义与性质，古典概型，条件概率与乘法原理，事件的独立性，基本知识点如下：
　　1、样本空间的概念，随机事件的概念，事件的关系与运算；
　　2、事件频率的概念，概率的统计定义；
　　3、概率的古典定义，古典概率；
　　4、概率的公理化定义，概率的基本性质及概率加法定理；
　　5、条件概率的概念、概率的乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。
　　6、事件的独立性概念。
　　二、随机变量及其分布
　　【知识点提示】了解随机变量，分布函数及分布函数的性质，离散型随机变量及其概率分布，连续型随机变量及概率密度函数，随机变量函数的分布，基本知识点如下：
　　1、随机变量的概念、离散型随机变量及分布律的概念和性质；
　　2、分布函数的概念和性质，利用概率分布计算有关事件的概率；
　　3、简单随机变量函数的概率分布；
　　4、0-1分布、二项分布、泊松分布的定义，知道二项分布与泊松分布的关系；
　　5、均匀分布、指数分布、正态分布与标准正态分布的定义与关系，正态分布的概率密度函数的性质，用正态分布的概率密度函数计算概率问题；
　　6、随机变量函数的分布的计算。
　　三、多维随机变量及其分布
　　【知识点提示】掌握二维随机变量，联合分布，边缘分布，条件分布，相互独立的随机变量，两个随机变量的函数的分布。基本知识点如下：
　　1、二维随机变量的概念（离散型随机变量及连续型随机变量）及概率密度的概念和性质；
　　2、二维分布函数的概念和性质，利用概率分布计算有关事件的概率；
　　3、联合分布、边缘分布、条件分布的概念及其关系，离散型和连续型随机变量的函数的分布的计算；
　　4、随机变量相互独立性的概念。
　　四、大数定律与中心极限定理
　　【知识点提示】了解切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律与贝努里大数定律，辛钦大数定律中心极限定理（独立同分布的中心极限定理、李雅普洛夫、棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理）。基本知识点：
　　1、大数定律的内容与含义；
　　2、中心极限定理的内容与含义。
　　五、统计量及其分布
　　【知识点提示】了解总体、简单随机样本、统计量、分位数等基本概念，掌握数理统计中几个常用分布（χ2分布、T分布、F分布），正态总体统计量的分布。基本知识点如下：
　　1、总体；简单随机样本；统计量；分位数；
　　2、三大抽样分布：χ2分布、T分布、F分布。
　　六、参数估计
　　【知识点提示】点估计；区间估计；一致最小方差无偏估计。基本知识点如下：
　　1、矩估计法；最大似然估计法；验证估计量的无偏性、有效性、一致性，一致最小方差无偏估计；区间估计的计算步骤；单个正态总体的均值和方差的置信区间的求法及相关应用；
　　2、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求法；
　　3、基于截尾样本的最大似然估计。
　　七、假设检验
　　【知识点提示】了解检验的显著水平、假设检验的两类错误、假设
　　检验的基本思想和假设检验的基本步骤。基本知识点如下：
　　假设检验的基本思想；假设检验可能产生的两类错误。假设检
　　验的基本步骤；单个正态总体的均值和方差的假设检验。
　　2、两个正态总体的均值和方差的假设检验；
　　3、置信区间与假设检验之间的关系。
　　参考书目：
　　1、课程教材：《概率论与数理统计教程》茆诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育出版社。
　　2、参考书目：《概率论与数理统计》盛骤，谢式千，潘承毅编著，高等教育出版社。