2014年中国矿业大学（北京）070104应用数学考研大纲

　　《高等代数》考试大纲
　　学院（盖章）：
　　负责人（签字）：
　　专业代码：070101、070102、070103
　　070104、070105专业名称：基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论
　　考试科目代码：802考试科目名称：高等代数
　　（一）考试内容
　　试题以北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编写，王萼芳和石生明修订的《高等代数》（第三版）（高等教育出版社，2003年7月）为蓝本，内容覆盖本教材的第一章至第九章，内容涉及：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵、欧几里得空间等。试题重点考查的内容：
　　一、多项式
　　1.多项式的带余除法及最大公因式
　　2.复系数和实系数多项式的因式分解
　　3.重因式与重根
　　4.对称多项式基本定理
　　二、行列式
　　1.行列式的定义及性质
　　2.n阶行列式的计算
　　3.Cramer法则
　　三、线性方程组
　　1.消元法
　　2.方程组解的判别定理
　　3.方程组解的结构
　　四、矩阵
　　1.矩阵的运算
　　2.矩阵的秩
　　3.矩阵的逆
　　4.初等矩阵
　　5.矩阵的分块
　　五、二次型
　　1.二次型及其标准形
　　2.二次型的规范型
　　3.正定二次型
　　六、线性空间
　　1.线性空间的维数、基
　　2.基变换、向量的坐标及变换
　　3.子空间及其运算
　　4.同构的概念
　　七、线性变换
　　1.线性变换与矩阵
　　2.线性变换的特征值与特征向量
　　3.线性变换的对角化
　　4.值域与核
　　5.不变子空间
　　八、-矩阵
　　1.-矩阵的标准形
　　2.不变因子、行列式因子、初等因子
　　3.Jordan标准形
　　九、欧几里得空间
　　1.标准正交基
　　2.正交变换
　　3.实对称矩阵的标准形
　　4.最小二乘法
　　（二）考试基本要求
　　1.基本概念要清晰
　　《高等代数》是一门非常重要的基础课程，在数学及相关领域中有重要的应用。同时，本课程也是学习抽象数学方法和思想的最佳课程。所以，对于本课程的基本概念需要特别注意，做到透彻理解。
　　2.基本计算技巧要熟悉
　　除掌握基本计算方法外，也需要熟悉本课程中的一些计算技巧。如n阶行列式的计算、分块矩阵的技巧。
　　3.基本定理要掌握
　　本课程的基本定理不仅需要会用，同时对于其证明方法也要求掌握。
　　（三）考试形式
　　笔试、闭卷
　　（四）考试基本题型
　　基本题型可能包括：填空题、计算题、解答题和证明题等。
　　《实变函数与泛函分析》考试大纲
　　学院（盖章）：负责人（签字）：
　　专业代码：070101、070102、专业名称：基础数学、计算数学、
　　070103、070104概率论与数理统计、应用数学
　　考试科目代码：840考试科目名称：实变函数与泛函分析
　　（一）考试内容
　　试题以程其襄等编著《实变函数与泛函分析基础》（第二版）（高等教育出版社，2003年12月，北京）为蓝本，内容涵盖该教材的第一至五章和第七至十章，以可测函数、积分论和有界线性算子的知识为主，兼顾测度论、赋范线性空间和内积空间等方面的内容。试题重点考查的内容：
　　一、测度论
　　1．外测度
　　2．可测集
　　二、可测函数
　　1．可测函数及其性质
　　2．叶果洛夫定理与鲁津定理
　　3．依测度收敛
　　三、积分论
　　1．勒贝格积分的定义及性质
　　2．一般可积函数
　　3．积分的极限定理与富比尼定理
　　四、赋范线性空间和有界线性算子
　　1．赋范线性空间和巴拿赫空间
　　2．有界线性算子和连续线性泛函
　　五、内积空间
　　1．投影定理
　　2．希尔伯特空间的规范正交系和连续线性泛函
　　六、巴拿赫空间中的基本定理
　　1．泛函延拓定理
　　2．纲定理、一致有界性定理、逆算子定理和闭图像定理
　　3．强收敛、弱收敛和一致收敛
　　（二）考试的基本要求
　　1．基本概念清晰
　　对可测集、可测函数、勒贝格积分、赋范线性空间、有界线性算子、内积空间等基本概念的理解要清晰全面。
　　2．知识点的综合运用
　　注重各知识点之间的联系和对知识点的综合运用。例如：能熟练运用可测集、可测函
　　数、勒贝格积分的各种性质解决积分论中的综合性问题；能运用有界线性算子和连续线性泛函的理论解决具体实例中的范数问题；能熟练运用内积空间中的Bessel不等式和Parseval等式；能理解强收敛、弱收敛和一致收敛的区别和联系，等等。
　　（三）考试形式
　　笔试、闭卷
　　（四）考试基本题型
　　基本题型可能有：填空题、计算题、解答题和证明题等。

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