2015年北京航空航天大学891数学专业综合考研大纲

　　考研网快讯，据北京航空航天大学研究生院消息，2015年北京航空航天大学数学考研大纲已发布，详情如下：

　　891数学专业综合课考试大纲
　　请考生注意：
　　1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、概率论与数理统计三门课程的内容，考生可任选其中二门课程的试题解答，多选无效。
　　2、每门课试题满分75分。
　　常微分方程考试大纲
　　一、基本内容与要求
　　(一)初等积分法
　　1、熟练掌握变量可分离方程、可化为变量分离方程的类型、一阶线性方程与常数变易法、全微分方程与积分因子等的解法。掌握一阶隐方程与参数表示。
　　2、会应用降阶法解某些高阶方程。
　　3、会建立简单的微分方程模型。
　　(二)线性方程和线性方程组
　　1、掌握线性微分方程(组)的一般理论.
　　2、掌握常系数线性微分方程(组)的解法.
　　3、能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析.
　　4、了解二阶线性方程的幂级数解法和Laplace方法。
　　5、会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。
　　6、会求二阶微分方程组的奇点及其类型
　　(三)基本定理
　　1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理
　　2、掌握解的存在、唯一性定理及证明。
　　近世代数考试大纲
　　一、基本内容与要求
　　(一)基本概念
　　1、理解集合与映射的概念，掌握集合之间的运算，能够在集合之间建立映射关系，并判断两个映射是否相同。
　　2、掌握代数运算与映射的关系，能够建立有限集合之间的运算表，并判断给定的运算是否满足结合律、交换律以及两种分配律。
　　3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，理解同态与同态满射（满同态）的关系，并能判定映射是否是同态满射（满同态），掌握具有同态满射（满同态）的集合之间的联系。能够判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。
　　4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，能够建立整数间给定模的剩余类。
　　(二)群论
　　1、掌握群的等价定义和例子，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的阶。
　　2、理解群同构、同态的定义，掌握一个群的自同构的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的像也是单位元，元a的逆元的像是a的像的逆元。
　　3、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。
　　4、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。
　　5、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字（不相连）的循环置换（轮换）的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。
　　6、掌握子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。
　　7、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。
　　8、掌握不变子群（正规子群）的定义，能掌握一个群的子群是不变子群（正规子群）的充分必要条件的定理，理解商群的定义，能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群（正规子群）的象的性质。并能将子群或不变子群（正规子群）的性质运用到循环群、变换群等群之中。
　　9、掌握sylow定理的应用。