2020年华南理工大学943微分方程与复变函数考研大纲

考试性质
本考试是一种测试考生综合运用常微分方程和复变函数知识点的水平考试

考试方式和考试时间
闭卷笔试

试卷结构

考试内容和考试要求
考试基本要求
1.掌握常微分方程的基本解法、基本技巧及基本理论。
2.掌握复变函数的基本理论，主要内容是：复数、解析函数、单复变函数的微分、积分、级数、留数和共形映射。
3.掌握复变函数的基本运算，如求复积分，解析函数的级数展开，奇点的判定，留数定理的应用，简单区域共形映射的作法等。

考试内容（或知识点）

常微分方程
1．一阶方程的初等解法
（1）变量分离方程的解法,（2）线性方程的解法，（3）恰当方程，（4）积分因子，（5）一阶隐式方程的解法。
2．一阶方程的解的存在定理
（1）存在唯一定理的条件与结论，（2）证明方法与步骤 ，（3）解的延拓，（4）奇解。
3．高阶方程
（1）线性方程的一般理论，（2）常系数方程的解法，（3）高阶方程的降阶。
4．线性方程组
（1）线性方程组的一般理论，（2）常系数线性方程组的解法
5．定理理论初步
（1）平面常系数线性系统的奇点类型，（2）平面非线性系统的线性近似，（3）极限环

复变函数
第1章 复数与复变函数
掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
考核要求：
1.复数: 复数的各种运算、表示法和三角不等式;
2.复平面上点集:平面点集的几个基本概念;区域、约当曲线;
3.复变函数:复极限、复连续;
4.复球面和无穷远点:无穷远点
第2章 解析函数
理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。熟练掌握解析函数的C－R条件，能运用C－R条件判定函数的解析性。熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式。熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义和基本性质以及简单映射性质。并会运用欧拉公式和复数的指数表示。
考核要求：
1.解析函数的概念与C－R条件
1.1 复变函数可导与解析;1.2 解析函数的C－R条件
2.初等解析函数：指数函数、幂函数、三角函数
3.初等多值函数：各初等多值函数的定义和基本性质
第3章 复变函数的积分
掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法。熟练掌握柯西积分定理并能证明。理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念。熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式。掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，莫勒拉定理。
考核要求：
1.复积分的概念性质;
2.Cauchy积分定理;
3.Cauchy积分公式及推论;    
3.1 柯西积公式与高阶导数公式, 3.2 刘维尔定理（领会）
4.解析函数与调和函数的关系
4.1解析函数与调和函数的关系
第4章 级数
理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法。掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式，理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的分析性质。记住exp（z）,
Ln (1+z), sinz, cosz 和 (1+z)^a的幂级数展开式，并能熟练的运用。掌握解析函数零点的孤立性定理和解析函数唯一性定理。理解罗郎级数的概念，会求出一些简单的罗郎级数的展开式及收敛域。掌握解析函数孤立奇点的三种类型及其特征与性质及在无穷远点的性质。
考核要求：
1.复级数的基本性质;
2.幂级数;
3.解析函数的零点，唯一性定理;
4.解析函数的罗朗展式
5.解析函数的孤立奇点
6.解析函数的无穷远点的性质
第5章 留数
留数的定义及计算方法，无穷远点的留数。留数定理。利用留数定理计算实积分。辐角原理，Ruché(儒歇)定理及其应用.
考核要求：
1.掌握留数的定义、留数定理及留数的计算方法;
2.了解利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的实积分
第6章 保形映照
理解导数的模与辐角的几何意义和保形映射概念。熟练的掌握ez, Inz,zn以及儒可夫斯基函数的映射性质。熟练掌握分式线性映射的基本性质。能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面。了解黎曼映射定理和边界对应定理。
考核要求：
1.expz、Ln z、 z^n以及儒可夫斯基函数的映射性质。
2.掌握分式线性映射的基本性质。
3.会综合应用分式线性函数、ez、 zn及儒可夫斯基函数作一些较简单的单连通区域间的变换。

备注
选读书目
【1】《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社；
【2】《常微分方程教程》(第二版)，丁同仁、李承治编，高等教育出版社；
【3】《复变函数》余家荣编，高等教育出版社；
【4】《复变函数》(第三版)，钟玉泉编，高等教育出版社。