2018年南京信息工程大学数学分析理考研大纲

      科目代码：702

　　科目名称：数学分析

　　考试内容:

　　一、实数集与函数

　　1实数集及其性质2确界定义与确界原理3函数概念4有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）

　　二、数列极限

　　1数列极限概念2收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）3数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西（Cauchy）准则

　　三、函数极限

　　1函数极限概念2函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）3函数极限存在的条件：包括归结原则（Heine定理），单调有界定理与柯西准则4两个重要极限5无穷小量，无穷大量,非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线

　　四、函数的连续性

　　1连续性概念，间断点及其分类2连续函数的性质（有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性；闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性）3初等函数的连续性

　　五、导数与微分

　　1导数的概念2求导法则3微分概念4高阶导数与高阶微分5参量方程所确定的函数的导数

　　六、微分中值定理及其应用

　　1中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）2不定式极限3泰勒公式（及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算）4函数的单调性、极值、最大值与最小值5函数的凸性与拐点6函数图象的讨论

　　七、实数完备性

　　1实数集完备性的基本定理的应用2闭区间上连续函数性质的证明

　　第八章不定积分

　　1原函数与不定积分概念，基本积分公式2换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数的积分

　　九、定积分

　　1定积分的概念及其几何意义2可积条件的应用（包括必要条件，可积准则），三类可积函数3定积分的性质（线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理）4微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法

　　十、反常积分

　　1无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛2无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法3无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

　　十一、定积分的应用

　　1平面图形的面积2由截面面积求体积、旋转体的体积3曲线的弧长与曲率4旋转曲面的面积

　　十二、数项级数

　　1级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质2正项级数收敛判别法（比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法）3一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法，绝对收敛级数的性质

　　十三、函数列与函数项级数

　　1函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法2函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性

　　十四、幂级数

　　1幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质2函数的幂级数展开

　　十五、傅里叶级数

　　1傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性2以2L为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开3收敛定理的证明

　　十六、多元函数的极限与连续

　　1平面点集与多元函数2二元函数的极限，重极限与累次极限3二元函数的连续性，有界闭域（集）上连续函数的性质

　　十七、多元函数的微分学

　　1偏导数与全微分概念，可微性2复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性3方向导数与梯度4泰勒公式与极值问题

　　十八、隐函数定理及其应用

　　1隐函数的概念，隐函数定理2隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质3几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）4条件极值与拉格朗日乘数法

　　十九、含参量积分

　　1含参量正常积分，连续性、可积性与可微性2含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯（Weierstrass）判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性3欧拉积分

　　二十、曲线积分

　　1第一型曲线积分的概念，性质和计算公式2第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系

　　二十一、重积分

　　1二重积分概念与性质2二重积分的计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标与一般变换）3.格林（Green）公式，曲线积分与路线的无关性3三重积分的概念与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）4重积分的应用（体积、曲面面积等）

　　二十二、曲面积分

　　1第一型曲面积分的的概念与计算2第二型曲面积分的概念与计算，两类曲面积分之间的关系3高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式