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2013年南京理工大学070104应用数学考研大纲

  《高等代数》考试大纲
  一.复习参考书

  《高等代数》第三版。王萼芳,石生明修订,高等教育出版社,2004.5
  二.复习要点
  第一章多项式
  1.掌握数域概念,一元多项式运算法则
  2.掌握带余除法定理,最大公因式概念及求法
  3.掌握不可约多项式概念和因式分解定理
  4.掌握重因式,余数定理,零点定理
  5.掌握复/实系数多项式的因式分解
  6.了解整系数多项式的有理根求法
  第二章行列
  1.掌握排列的逆序数求法和行列式的定义
  2.会用行列式的性质计算行列式的值
  3掌握矩阵的初等变换,并严格区分矩阵与行列式的差别,熟练掌握行列式的计算
  4.掌握Cramer法则,齐次线性方程有非零解的条件以及行列式乘法
  第三章线性方程组
  1.理解线性方程组的消去法,理解n维向量概念及运算
  2.掌握向量组的线性相关/无关
  3.掌握矩阵秩的概念,会用初等变换求矩阵的秩及向量组的极大线性无关组
  4.掌握线性方程组有解的判定:线性方程组无解,有唯一解及有无穷多组解的判定
  5.掌握线性方程组解的结构:线性方程组解的判定及解的求法
  第四章矩阵
  1.理解矩阵的秩及其逆的概念,掌握矩阵乘积的行列式
  2.掌握矩阵的逆的存在及求法,分块矩阵的概念
  3.会用初等变换求矩阵的逆,理解初等矩阵的意义及性质
  4.分块矩阵的应用
  第五章二次型
  1.掌握二次型的矩阵表示,会用合同变换化二次型为标准形
  2.掌握复二次型的规范形及实二次型的惯性定理
  3.掌握正/负二次型的等价条件及判定定理
  4.熟练掌握二次型的规范形/标准形及正/负定二次型的相关定理
  第六章线性空间
  1.了解线性/向量空间的定义及其背景
  2.掌握维数、基底、坐标的概念
  3.掌握基变换与坐标变换公式,子空间的几何意义,若干子空间的例子
  4.掌握子空间的交与
  5.掌握子空间的直和,直和的维数公式第1页
  第七章线性变换
  1.掌握线性变换的概念,运算,了解一些线性变换的背景和具体例子
  2.掌握线性变换与矩阵的关系,同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵之间的关系
  3.掌握特征值,特征向量以及特征空间的概念,会求特征值,特征向量,掌握特征多项式的性质包括Hamilton-Cayley定理
  4.掌握矩阵可对角化的条件及方法,线性变换的值域与零空间的概念及性质
  5.掌握不变子空间的概念极其重要性质,了解可将线性空间分解为特征空间的直和
  6.了解任意矩阵在复数域上都可相似于Jordan标准形
  第九章Euclid空间
  1.掌握Euclid空间的概念与基本性质
  2.掌握标准正交基与同构的概念,掌握Schimidt正交化过程
  3.掌握若干正交变换的等价定义,知道子空间与正交补及其简单的性质
  4.掌握如何用正交矩阵化实对称矩阵为对角形
  5.掌握最小二乘法,了解酉空间的定义与性质
  第十章双线性函数与辛空间
  1.掌握线性函数与对偶空间的定义及相应定理
  2.掌握线性函数与对偶空间的定义及相应定理
  3.掌握双线性函数的性质及相应定理
  4.了解辛空间


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