2012中科院宁波材料研究所高数（乙）考研大纲

　　（七）无穷级数
　　考试内容
　　常数项级数及其收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域、和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法泰勒级数初等函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式在近似计算中的应用函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[-l，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数。
　　考试要求
　　1.理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
　　2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散情况。
　　3.熟练掌握正项级数收敛性的各种判别法。
　　4.熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　5.理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
　　6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
　　7.理解幂级数的收敛域、收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。
　　8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
　　9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
　　10.掌握一些常见函数如ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
　　11.会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。
　　12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数。
　　（八）常微分方程
　　考试内容
　　常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降价的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用
　　考试要求
　　1.掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2.熟练掌握变量可分离的微分方程的解法，熟练掌握解一阶线性微分方程的常数变易法。
　　3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
　　4.会用降阶法解下列方程：y(n)=f(x)，y″=f(x，y′)和y″=f(y，y′)
　　5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
　　6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
　　7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　8.会解欧拉方程。
　　9.用微分方程解决一些简单的应用问题。
　　五、主要参考文献
　　《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。
　　编制单位：中国科学院研究生院
　　编制日期：2011年7月1日