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2015年南开大学数科中心070103概率论与数理统计考研大纲

  南开大学硕士研究生入学考试
  《数学分析》考试大纲

  本《数学分析》考试大纲适用于南开大学数学学科(包括南开大学数学学院,陈省身数学所,组合数学中心等)各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程,由分析基础、一元微分学和积分学(含广义积分)、级数、多元微分学和积分学(含参变量积分)等部分组成。要求考生能准确理解基本概念,理解数学分析的基本理论,熟练掌握数学分析的各种运算,理解数学分析的基本思想和方法。要求考生具有较好的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
  采用闭卷笔试形式,试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
  考试内容:
  1.分析基础:
  极限:数列与函数极限的定义,收敛数列的性质与极限的四则运算,数列敛散的判别法,函数极限的性质与运算法则,无穷大量与无穷小量,实数的基本理论(包括:确界原理,柯西收敛原理,有限覆盖定理,致密性原理,单调有界原理,区间套定理等),上极限和下极限,多元函数的极限概念与性质。
  连续函数:连续函数及其性质,初等函数的连续性,一致连续,闭区间上连续函数的性质,多元函数的连续性。
  2.导数与微分:导数的概念,导函数的计算,高阶导数,微分,微分中值定理,函数的单调性和极值,函数的凸性,洛必达法则,泰勒公式。
  3.不定积分:不定积分的概念,换元积分法,分部积分法,有理函数的积分,三角函数有理式的积分,和某些无理函数的积分。
  4.定积分:定积分的概念与计算,定积分的性质,微积分基本定理,换元积分法。
  定积分在几何计算中的应用,
  5.多元函数的微分学:偏导数概念与计算,全微分的概念,方向导数及梯度的性质,多元函数的泰勒公式,隐函数存在定理,极值理论。
  6.重积分:重积分的概念与性质,重积分的计算。
  7.曲线积分与曲面积分:第一型曲线积分,第二型曲线积分,第一型曲面积分,第二型曲面积分,各种积分之间的联系,曲线积分与路径无关的条件。
  8.数项级数:级数收敛性的概念和基本性质,正项级数收敛差别法,任意项级数收敛差别法。
  9.广义积分:无限区间上的广义积分,有限区间上无界函数的广义积分。
  10.一致收敛:函数列的一致收敛性,一致收敛与极限换序。
  11.函数项级数:函数项级数的一致收敛判别法,幂级数的性质,泰勒级数,函数的幂级数展开,傅里叶级数的性质。
  12.含参变量积分:含参变量的正常积分,含参变量的广义积分。

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