2011年中科院理论物理研究所《高等数学》考研大纲

　　（三）一元函数积分学
　　考试内容
　　原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分（无穷限积分、瑕积分）定积分的应用
　　考试要求
　　1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
　　2.熟练掌握不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
　　4.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。
　　5.理解广义积分（无穷限积分、瑕积分）的概念，掌握无穷限积分、瑕积分的收敛性判别法，会计算一些简单的广义积分。
　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值。
　　（四）向量代数和空间解析几何
　　考试内容
　　向量的概念向量的线性运算向量的数量积、向量积和混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
　　考试要求
　　1.熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。
　　2.熟练掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，掌握两向量垂直、平行的条件。
　　3.理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，会用坐标表达式进行向量的运算。
　　4.熟悉平面方程和空间直线方程的各种形式，熟练掌握平面方程和空间直线方程的求法。
　　5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
　　6.会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。
　　7.了解空间曲线方程和曲面方程的概念。
　　8.了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
　　9.了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
　　（五）多元函数微分学
　　考试内容
　　多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分的概念及求法全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法高阶偏导数的求法空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线方向导数和梯度二元函数的泰勒公式多元函数的极值和条件极值拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用全微分在近似计算中的应用
　　考试要求
　　1.理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。
　　2.理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和极限的关系会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性了解有界闭区域上连续函数的性质。
　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系，会求偏导数和全微分，了解二元函数两个混合偏导数相等的条件了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
　　4.熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。
　　5.熟练掌握隐函数的求导法则。
　　6.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
　　7.理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式。
　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值，并会解决一些简单的应用问题。
　　10.了解全微分在近似计算中的应用