2015年哈尔滨理工大学0701数学考研大纲

　　《高等代数》考试大纲
　　适用专业名称：数学
　　科目代码及名称考试大纲
　　823高等代数
　　一、考试目的与要求
　　测试考生对线性代数主要内容：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组、线性空间与线性变换以及二次型的理解掌握程度；对知识的运用能力；同时考察学生对相关拓展内容如内积空间、-矩阵等的了解情况。要求考生准确记忆基本概念，理解基本理论，掌握基本计算，并能妥善运用到综合题目的处理中。此外，对于内积空间、-矩阵的内容，考生也要有所了解。
　　二、试卷结构（满分150分）
　　内容比例：
　　多项式理论约25分
　　行列式约20分
　　矩阵运算约25分
　　线性方程组约15分
　　线性空间与线性变换约40分
　　二次型约15分
　　扩展部分约10分
　　题型比例：
　　客观题约60分
　　1．填空题约50分
　　2．判断题约10分
　　主观题约90分
　　1.计算题约50分
　　2.证明题约40分
　　三、考试内容与要求
　　（一）多项式理论
　　考试内容
　　多项式的四则运算；多项式的整除、带余除法；最高公因式；因式分解；有理数域上多项式的根；重因式。
　　考试要求
　　1.了解基本概念：最低公倍、重因式、本原多项式。
　　2.理解基本理论：因式分解理论、代数基本定理、本原多项式分解定理、公因式的性质。
　　3.掌握基本计算：带余除法、辗转相除法、重因式判定方法、艾森斯坦因判别法、整系数多项式的有利根判别法。
　　4.综合运用以上内容进行合理地分析、证明、判断。
　　（二）行列式
　　考试内容
　　三、四阶数字行列式的计算；特殊任意阶行列式计算；范德蒙行列式；与行列式性质相关的证明；克莱姆法则。
　　考试要求
　　1.了解行列式不同的定义方式、行列式降阶运算以及拉普拉斯定理。
　　2.理解行列式性质、代数余子式概念。
　　3.掌握行列式的计算、行列式性质的证明、范德蒙行列式形式及应用、克莱姆法则。
　　4.综合运用矩阵、线性变换等内容处理行列式相关计算。
　　（三）矩阵运算
　　考试内容
　　矩阵的加法、数乘、乘法运算；特殊矩阵的幂运算；矩阵多项式计算；求逆运算；初等矩阵；矩阵的等价标准型；矩阵的秩、分块矩阵；矩阵方程。
　　考试要求
　　1.了解矩阵各运算的定义和条件。
　　2.理解矩阵乘法和初等矩阵的关系、伴随矩阵和逆矩阵的关系、分块矩阵的基本思想、矩阵的秩的概念以及矩阵等价标准型。
　　3.掌握矩阵的乘法、求逆方法、克莱姆法则的矩阵描述、伴随矩阵的性质、分块矩阵计算技巧、矩阵求秩、矩阵等价标准型的计算。
　　4.能够综合处理行列式、矩阵、方程组的解的判等问题。
　　（四）线性方程组理论
　　考试内容
　　高斯消元法；齐次线性方程组基础解系和通解；非齐次线性方程组通解；非齐次线性方程组与对应齐次线性方程组解的关系。
　　1.了解线性方程组的基本概念：线性方程组定义；线性方程组通解和特解；相容性。
　　2.理解齐次线性方程组基础解系概念、理解非齐次线性方程组与对应齐次线性方程组解的关系、矩阵的秩与线性方程组解的关系。
　　3.掌握高斯消元法求解线性方程组的方法、利用矩阵的秩判断线性方程组解的属性的方法。
　　（五）线性空间与线性变换
　　考试内容
　　线性空间的概念；线性运算性质；向量的线性相关性质；向量组的极大线性无关组、秩；线性空间的基与维数；向量在某基下坐标；过渡矩阵和坐标变换公式；子空间的概念和判定；子空间的维数公式；子空间的直和；线性空间的同构；线性映射和线性变换；线性变换的基下矩阵；相似矩阵；特征值与特征向量；矩阵对角化条件。
　　考试要求
　　1.了解线性空间概念、线性运算性质、向量组的极大线性无关组和秩的概念、线性空间基与维数的概念、子空间的概念、同构的概念、基下矩阵概念。
　　2.理解向量组线性相关概念、向量组极大无关组与线性空间的基的关系，向量组的秩与线性空间维数的关系、特征值与特征向量的关系、矩阵对角化条件、子空间直和概念、矩阵相似的概念。
　　3.掌握向量组线性相关性的讨论、向量组的极大线性无关组和秩的计算、过渡矩阵和坐标变换的计算、利用子空间维数公式计算子空间维数、向量组是否构成子空间的判定、直和的判定、基下矩阵的计算、矩阵特征值和特征向量的计算、矩阵的对角化、同一线性变换的不同基下矩阵的转换。
　　4.能够综合运用行列式、矩阵、方程组、向量组、特征值相关理论进行合理地分析、判断、证明。
　　（六）二次型理论
　　考试内容
　　向量内积的概念；二次型定义及其矩阵表示；二次型的秩、惯性指数概念；正交矩阵；矩阵的合同；二次型的标准型及其计算方法；二次型的正定性。
　　考试要求
　　1.了解内积空间的概念、惯性定理、各类有定二次型概念。
　　2.理解二次型标准性概念、二次型秩的概念、二次型标准型的唯一性意义、矩阵的合同与相似以及等价的关系、正交矩阵。
　　3.掌握配方法化二次型为标准型、如何用正交变换化二次型为标准型、利用二次型矩阵的特征值判定其标准型性质、正定矩阵和正定二次型的判定。
　　（七）扩展部分
　　考试内容
　　不变因子、初等因子；若当标准型；正交变换；正规变换。
　　考试要求
　　1.了解不变因子、初等因子；若当标准型；正交变换；正规变换等概念。
　　2.了解若当型计算、不变因子和初等因子关系；了解第一类正交变换、镜面反射变换；了解正规变换性质。
　　参考书目：
　　《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组人民教育出版社1978
　　《高等代数》刘昌堃叶世源叶家琛陈承东同济大学出版社1995
　　《高等代数与解析几何》同济大学应用数学系高等教育出版社2005
 

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