2017年哈尔滨工业大学831高等代数考研大纲
2017年哈尔滨工业大学831高等代数考研大纲
一、考试要求
(一)多项式
1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,k重因式,重因式的概念。了解多项式环,微商,本原多项式,字典排序法,对称多项式,初等对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念。
2.掌握整除的性质,带余除法定理,最大公因式定理,互素多项式的判别与性质,不可约多项式的判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代数基本定理,Vieta定理,高斯引理,Eisenstein判别定理,对称多项式基本定理。
3.掌握无重因式的充要条件,的判别条件,Lagrange插值公式,复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式的有理根范围。
4.掌握辗转相除法,综合除法。掌握化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。
(二)行列式
1.了解行列式的概念,理解行列式的子式,余子式及代数余子式的概念。
2.掌握行列式的性质,按行、列展开定理,Cramer法则,Laplace定理,行列式乘法公式。
3.会用行列式的性质及展开定理计算行列式,掌握计算行列式的基本方法。
(三)线性方程组
1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组的秩,矩阵的秩,基础解系,解空间等概念。
2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。
3.掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
(四)矩阵
1.理解矩阵的概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律。
3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。
4.掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质,理解矩阵等价的概念,会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。
5.理解分块矩阵,掌握分块阵的运算及初等变换。
(五)二次型
1.二次型的概念及二次型的矩阵表示,了解二次型秩的概念,掌握二次型的标准形、规范形的概念及慣性定律。
2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。
3.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。
(六)线性空间
1.理解线性空间,子空间,生成子空间,基底,维数,坐标,过渡矩阵,子空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。
2.掌握基扩张定理,维数公式,掌握直和的充要条件。
3.会求基底,维数,坐标,过渡矩阵。
(七)线性变换
1.理解线性变换,特征值,特征向量,特征多项式,特征子空间,不变子空间,线性变换的矩阵,相似变换,相似矩阵,线性变换的值域与核,Jardan标准形,最小多项式等概念。
2.掌握线性变换的性质,相似矩阵的性质,特征值、特征向量的性质,核空间与值域的性质,不变子空间的性质。掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A-不变子空间的条件和方法,了解最小多项式理论。
3.掌握线性变换的矩阵表示方法,求线性变换的特征值、特征向量的方法,矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法,会用各种特殊子空间解决相关问题。
(八)矩阵
1.理解矩阵、可逆矩阵、矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念,了解矩阵的标准形。
2.掌握矩阵可逆的充要条件,矩阵等价的充要条件,数字矩阵相似的充要条件,了解Jordan标准形的理论推导。
3.会求矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jordan标准形。
(九)欧几里得空间
1.掌握内积,欧氏空间,向量长度、夹角、距离,度量矩阵,标准正交基、正交补,正交变换,正交阵,对称变换,同构等概念。
2.掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质,正交变换的性质,正交阵的性质,对称变换的性质及标准形。
3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵相似(合同)对角化。
二、考试内容
注:本文中“章”、“节”均指《高等代数》(北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,第三版,2003年)中的“章”、“节”
1)多项式(第一章1-11节)
2)行列式(第二章1-8节)
3)线性方程组(第三章1-6节)
4)矩阵(第四章1-7节)
5)二次型(第五章1-4节)
6)线性空间(第六章1-8节)
7)线性变换(第七章1-9节)
8)矩阵(第八章1-6节)
9)欧几里得空间(第九章1-6节)
三、试卷结构
1)考试时间:180分钟,满分:150分
2)题型结构
a:填空与选择20%左右
b:解答题(包括计算题和证明题)80%左右
四、参考书目
《高等代数》,北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,2003年,第三版
- 2020-03-122016哈尔滨工业大学考研复试真题汇总
- 2020-02-252016哈尔滨工业大学考研复试经验汇总
- 2024-02-08哈工大19通信803已录取,分享一点初试+复试+面试经验
- 2021-09-04806半导体物理复试经验贴
- 2021-08-28哈工大19翻硕已录取经验分享——“选择+坚持=成功”
- 2021-06-17哈工大通信803初复试经验分享(19考研390+本部录取)
- 2021-06-122014哈工大机械复试题面试题
- 2021-06-12哈工大机械复试真题05-13年笔试+面试回忆版( 本人用过)
- 2021-05-2219哈工大英语语言文学经验贴(已录)
- 2021-04-29哈工大应用经济学原理(849)经验分享