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2017年哈尔滨工业大学831高等代数考研大纲

  一、考试要求

  (一)多项式

  1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,k重因式,重因式的概念。了解多项式环,微商,本原多项式,字典排序法,对称多项式,初等对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念。

  2.掌握整除的性质,带余除法定理,最大公因式定理,互素多项式的判别与性质,不可约多项式的判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代数基本定理,Vieta定理,高斯引理,Eisenstein判别定理,对称多项式基本定理。

  3.掌握无重因式的充要条件,的判别条件,Lagrange插值公式,复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式的有理根范围。

  4.掌握辗转相除法,综合除法。掌握化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

  (二)行列式

  1.了解行列式的概念,理解行列式的子式,余子式及代数余子式的概念。

  2.掌握行列式的性质,按行、列展开定理,Cramer法则,Laplace定理,行列式乘法公式。

  3.会用行列式的性质及展开定理计算行列式,掌握计算行列式的基本方法。

  (三)线性方程组

  1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组的秩,矩阵的秩,基础解系,解空间等概念。

  2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。

  3.掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。

  (四)矩阵

  1.理解矩阵的概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。

  2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律。

  3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。

  4.掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质,理解矩阵等价的概念,会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

  5.理解分块矩阵,掌握分块阵的运算及初等变换。

  (五)二次型

  1.二次型的概念及二次型的矩阵表示,了解二次型秩的概念,掌握二次型的标准形、规范形的概念及慣性定律。

  2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

  3.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

  (六)线性空间

  1.理解线性空间,子空间,生成子空间,基底,维数,坐标,过渡矩阵,子空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。

  2.掌握基扩张定理,维数公式,掌握直和的充要条件。

  3.会求基底,维数,坐标,过渡矩阵。

  (七)线性变换

  1.理解线性变换,特征值,特征向量,特征多项式,特征子空间,不变子空间,线性变换的矩阵,相似变换,相似矩阵,线性变换的值域与核,Jardan标准形,最小多项式等概念。

  2.掌握线性变换的性质,相似矩阵的性质,特征值、特征向量的性质,核空间与值域的性质,不变子空间的性质。掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A-不变子空间的条件和方法,了解最小多项式理论。

  3.掌握线性变换的矩阵表示方法,求线性变换的特征值、特征向量的方法,矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法,会用各种特殊子空间解决相关问题。

  (八)矩阵

  1.理解矩阵、可逆矩阵、矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念,了解矩阵的标准形。

  2.掌握矩阵可逆的充要条件,矩阵等价的充要条件,数字矩阵相似的充要条件,了解Jordan标准形的理论推导。

  3.会求矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jordan标准形。

  (九)欧几里得空间

  1.掌握内积,欧氏空间,向量长度、夹角、距离,度量矩阵,标准正交基、正交补,正交变换,正交阵,对称变换,同构等概念。

  2.掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质,正交变换的性质,正交阵的性质,对称变换的性质及标准形。

  3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵相似(合同)对角化。

  二、考试内容

  注:本文中“章”、“节”均指《高等代数》(北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,第三版,2003年)中的“章”、“节”

  1)多项式(第一章1-11节)

  2)行列式(第二章1-8节)

  3)线性方程组(第三章1-6节)

  4)矩阵(第四章1-7节)

  5)二次型(第五章1-4节)

  6)线性空间(第六章1-8节)

  7)线性变换(第七章1-9节)

  8)矩阵(第八章1-6节)

  9)欧几里得空间(第九章1-6节)

  三、试卷结构

  1)考试时间:180分钟,满分:150分

  2)题型结构

  a:填空与选择20%左右

  b:解答题(包括计算题和证明题)80%左右

  四、参考书目

  《高等代数》,北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,2003年,第三版

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