2015年哈尔滨工业大学070102计算数学考研大纲（官方）

　　2015年数学系硕士研究生入学考试大纲

　　考试科目名称：高等代数 考试科目代码：[831]

　　一、考试要求

　　(一)多项式

　　1.理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，k重因式，重因式的概念。了解多项式环，微商，本原多项式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。

　　2.掌握整除的性质，带余除法定理，最大公因式定理，互素多项式的判别与性质，不可约多项式的判别与性质，多项式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。

　　3.掌握 无重因式的充要条件， 的判别条件，Lagrange插值公式，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。

　　4.掌握辗转相除法，综合除法。掌握化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

　　(二)行列式

　　1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。

　　2.掌握行列式的性质，按行、列展开定理，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。

　　3.会用行列式的性质及展开定理计算行列式，掌握计算行列式的基本方法。

　　(三)线性方程组

　　1.理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。

　　2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构。

　　3.掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。

　　(四)矩阵

　　1.理解矩阵的概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵的概念及其性质。

　　2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。

　　3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质。

　　4.掌握矩阵的初等变换、掌握初等矩阵的性质，理解矩阵等价的概念，会用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

　　5.理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。

　　(五)二次型

　　1.二次型的概念及二次型的矩阵表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的标准形、规范形的概念及慣性定律。

　　2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

　　3.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

　　(六)线性空间

　　1.理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和等概念。了解线性空间同构的概念。

　　2.掌握基扩张定理，维数公式，掌握直和的充要条件。

　　3.会求基底，维数，坐标，过渡矩阵。

　　(七)线性变换

　　1.理解线性变换，特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间，不变子空间，线性变换的矩阵，相似变换，相似矩阵，线性变换的值域与核，Jardan标准形，最小多项式等概念。

　　2.掌握线性变换的性质，相似矩阵的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，不变子空间的性质。掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A-不变子空间的条件和方法，了解最小多项式理论。

　　3.掌握线性变换的矩阵表示方法，求线性变换的特征值、特征向量的方法，矩阵可相似对角化的条件与方法。掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法，会用各种特殊子空间解决相关问题。

　　(八) 矩阵

　　1.理解 矩阵、可逆 矩阵、 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念，了解 矩阵的标准形。

　　2.掌握 矩阵可逆的充要条件， 矩阵等价的充要条件，数字矩阵相似的充要条件，了解Jordan标准形的理论推导。

　　3.会求 矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jordan标准形。

　　(九)欧几里得空间

　　1.掌握内积，欧氏空间，向量长度、夹角、距离，度量矩阵，标准正交基、正交补，正交变换，正交阵，对称变换，同构等概念。

　　2.掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质，正交变换的性质，正交阵的性质，对称变换的性质及标准形。

　　3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵相似(合同)对角化。

　　二、考试内容

　　注：本文中“章”、“节”均指《高等代数》(北大数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，第三版，2003年)中的“章”、“节”

　　1) 多项式(第一章1-11节)

　　2) 行列式(第二章1-8节)

　　3) 线性方程组(第三章1-6节)

　　4) 矩阵(第四章1-7节)

　　5) 二次型(第五章1-4节)

　　6) 线性空间(第六章1-8节)

　　7) 线性变换(第七章1-9节)

　　8) 矩阵(第八章1-6节)

　　9) 欧几里得空间(第九章1-6节)

　　三、试卷结构

　　1) 考试时间：180分钟，满分：150分

　　2) 题型结构

　　a: 填空与选择 20%左右

　　b: 解答题(包括计算题和证明题) 80%左右

　　四、参考书目

　　《高等代数》，北大数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，2003年，第三版

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