2015年河南工业大学0701数学考研大纲

837高等代数
　　一、研究生招生自命题科目全部笔试，时间3小时（建筑学、艺术硕士等专业科目四可超过3小时，但不得超过6小时），分值150分；
　　二、自命题科目考试大纲无规定格式、结构要求，但须注明科目名称、科目代码、简明扼要说明考试重点；大纲可指定参考书目。
　　三、大纲后应附有样卷。
　　科目名称：高等代数科目代码：834
　　一、考试目的
　　本考试大纲适用于报考河南工业大学理学院数学专业的硕士研究生《高等代数》科目的入学考试。它的主要目的是测试考生是否系统地学习和掌握了高等代数的知识，代数的思维方式，以及现代数学的思想和方法．要求考生具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。
　　二、考试的性质与范围
　　本考试是一种测试应试者综合运用所学的《高等代数》的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。
　　三、考试基本要求
　　1.熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理；
　　2.综合运用所学的高等代数的知识的能力
　　四、考试形式
　　闭卷
　　五、考试题型
　　计算题、证明题
　　六、考试内容（或知识点）
　　1.多项式
　　数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。
　　2、行列式
　　排列，n级行列式的定义和性质，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，范德蒙行列式，拉普拉斯（Laplace）定理，k级子式。
　　3.线性方程组
　　消元法，n维向量空间，线性相关性，向量组和矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。
　　4.矩阵
　　矩阵的概念，矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法的初等变换，对称矩阵和反对称矩阵，正交矩阵，施密特正交化过程。
　　5.二次型
　　线性替换，n元二次型，二次型的矩阵，标准型，规范形，惯性定理，正定（半正定）二次型。
　　6.线性空间
　　集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。
　　7.线性变换
　　线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，线性变换的值域与核，不变子空间。
　　8.λ-矩阵
　　λ-矩阵的定义，λ-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当（Jordan）标准形，最小多项式。
　　9.欧几里得空间
　　定义与基本性质，标准正交基，同构，子空间，正交变换的定义和性质，对称变换的定义和性质。
　　七、参考书目：
　　(1)高等代数.北京大学数学系.高等教育出版社，出版年2003.
　　八、样卷(附后)
　　河南工业大学
　　2013年硕士研究生入学考试试题
　　考试科目：837高等代数(A)共2页（第1页）
　　注意：1、本试题纸上不答题，所有答案均写在答题纸上
　　2、本试题纸必须连同答题纸一起上交。
　　一、（15分）计算行列式。
　　二、（15分）设是矩阵，是齐次线性方程组的基础解系，是齐次线性方程组的一个解，证明：
　　(1)线性无关；
　　(2)的任意一个解可以由线性表示。
　　三、（15分）已知为3阶矩阵，且满足,其中为3阶单位矩阵。
　　证明可逆；若，求矩阵。
　　四、（15分）已知为4阶矩阵，若满足，且行列式。
　　求矩阵的特征值；证明矩阵可相似对角化；计算行列式。
　　五、（15分）设有三元二次型，其矩阵主对角线元素之和为，且满足，其中。
　　（1）用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换；
　　（2）求此二次型；（3）求。
　　六、（15分）设与分别是齐次线性方程组与的解空间,其中是中的一组给定的满足的数,证明：。
　　七、（15分）若是阶矩阵,当有一个常数项不为零的多项式,使,则的特征值一定全不为。
　　八、（15分）设，求。
　　九、（15分）设是维线性空间，是的子空间，如果.
　　证明：存在线性变换，使。
　　十、（15分）证明：如果则。

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