2015年中国矿业大学070102●计算数学考研大纲（官方）

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考试大纲

643

数学分析

数  学  分  析 (上、下册)， 华 东 师范大 学数学系编， 高 等 教育出 版社出版。

一、考试目的与要求 掌握函数概念及性质、数列极限的概念及计算；掌握实数基本定理、函数极限概念理论及计算；掌握函数
连续性概念、理论；掌握导数与微分的概念、几何意义及计算；掌握一元函数中值定理及应用；掌握不定
积分计算、定积分计算及应用；掌握数值级数审敛法、反常积分审敛法；掌握函数列与函数项级数收敛概 念和判别方法；掌握幂级数基本概念、基本性质和基本理论；了解傅里叶级数基本概念、基本性质和基本 理论；多元函数的极限与连续；多元函数微分学；了解隐函数定理；掌握含参变量积分、变限积分和线面 积分。
二、考试范围

1.  函数： 实数概述，区间与邻域，函数概念，有界函数，单调函数，奇函数和偶函数，周期函数，复合 函数，反函数，基本初等函数，初等函数。
2.  数列极限：  数列极限定义，收敛数列的性质及运算，单调有界数列极限存在定理，两个重要极限。

3.  实数的基本定理：   确界存在定理，区间套定理，Cauchy 准则，聚点原理，有限覆盖定理，上下极限。

4.  函数极限：   极限定义、性质，Heine 定理，单侧极限，Cauchy 准则，无穷小量及其阶的比较，记号 o，
O，～，广义极限，无穷大量及其阶的比较。

5.  函数的连续性：  函数在一点连续性，单侧连续，间断点及其分类，函数在区间上的连续性，连续函 数的局部有界性，保号性，有理运算。复含函数连续性，有齐闭区间上连续函数的性质，反函数连续性， 初等函数的连续性。

6.  导数与微分： 导数定义，单侧导数，导函数，导数的几何意义，无穷大导数，和、差、积、商的导数， 反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数；微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶 微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，高阶导数与高阶微分，由参量方程所表示的曲线的斜率。
7.  中值定理与导数应用： 费马(Fermat)定理，罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西 (Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余项)，近似计算，函数单调性的判别法， 极值，最大值与最小值，曲线的凹凸性、拐点、渐近线，函数图象的讨论，罗比塔(L′Hospital)法则。

8.  不定积分：  原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法，分部积分法，有理 函数积分法，三角函数有理式的积分，几种无理函数的积分.

9.  定积分： 定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充要条件，闭区间
上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数的可积性，定积分性质，微积分学基 本定理，牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法，近似计算。

10.  定积分的应用：  简单平面图形面积，曲线的弧长与弧微分，曲率，已知截面面积函数的立体体积， 旋转体积与侧面积，平均值，物理应用(压力、功、静力矩与重心等)。

11.  数项级数： 级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数，比较原则，比式判 别法与根式判别法，拉贝(Raabe)判别法与高斯判别法，一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数， 莱不尼茨判别法，阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法，绝对收敛级数的重排定理，条件收敛 级数的黎曼(Riemann)定理。

12.  反常积分：  无穷限反常积分概念，柯西准则，线性运算法则，绝对收敛，反常积分与数项级数的关 系，无穷限反常积分收敛性判别法。
无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。

13.  函数列与函数项级数： 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，函数项 级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法　*，函数列极限函数与 函数项级数和的连续性，逐项积分与逐项微分。

14.  幂级数：   阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛区间，一致收敛性，收敛性，连续性逐项积分与逐项 微分幂级数的四则运算。泰勒级数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开近似计算，用幂级数定义正弦、 余弦函数。
15.  傅里叶(Fourier)级数：  三角级数，三角函数系的正交性，傅里叶级数、贝塞尔(Bessel)不等式，黎曼
—勒贝格(Riemann-lebesgue)定理，傅里叶级数的部分和公式，按段光滑且以 2π为周期的函数展开为傅里 叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅里叶级数，以 2L 为周期的函数的傅里叶级数，一致收敛性定理， 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分，维尔斯特拉斯函数逼近定理。

16.  多元函数的极限与连续：  平面点集概念(邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等)。平面点 集的基本定理—区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。　二元函数概念。　二重极限，累次极限，二元 函数的连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。n 维空间与 n 元函数(距离、三角形 不等式、极限、连续等)。

17.  多元函数的微分学：    偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分
条件、全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式的不变 性，高阶导数及其与顺序无关性，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数极值。
18.  隐函数定理的及其应用：  隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。　隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，函数行列式，函数相关。几何应用，
条件极值与拉格朗日乘数法。　

19．含参量积分：     含参量积分概念，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的 收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交 换，Γ函数与β函数。

20.  重积分：   平面图形面积，二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算(化为累次积分)， 二重积分的换元法(极坐标变换与一般变换)。三重积分定义与计算，三重积分的换元法(柱坐标变换、球坐 标变换与一般变换)。重积分应用(体积，曲面面积，重心，转动惯量等)。n 重积分。无界区域上及无界函 数反常二重积分的收敛性概念。

21.  曲线积分与曲面积分：   第一型和第二型曲线积分概念与计算，格林公式，曲线积分与路径无关条件。 曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，奥斯特罗格拉特斯基一高斯公式，斯托克斯公式、场论 初步(场的概念，梯度、散度、旋度、管形场、有势场).
三、试题结构

1.考试时间：3 小时

2.试题类型：计算题 80%，证明题 20%

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科目名称

参考书目

考试大纲

828

高等代数

《高等代数》
（第二版 ）， 北京大学，高 等 教 育出版 社，2003 年出 版；

《高等代数》
（第三版 ）， 张禾瑞、郝鈵 新编 , 高等 教 育 出 版社，
1983 年出版。

一、考试目的与要求
要求考生系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有 抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试范围
1、多项式理论 考察多项式的相关概念、基本性质、一元多项式的带余除法、不可约多项式的性质和判定、最大公因式
的性质、三种具体数域上多项式的不可约分解定理。
2、行列式 理解行列式的概念，掌握行列式的性质、行列式的乘法法则。会应用行列式概念和基本性质计算行列式，
能够熟练掌握行列式按行(列)展开定理，能够运用递推公式计算一些经典类型的行列式。
3、向量和矩阵 向量的线性组合和线性表示，向量组的等价，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组，向量组
的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。矩阵的概念，矩阵的基本运算，矩阵的转置，伴随矩阵，逆矩 阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分块 矩阵及其运算。
4、线性方程组 线性方程组的克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必
要条件，线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系和通解，解空间及维数，非齐次线 性方程组的通解。
5、二次型 二次型及其矩阵表示，非退化线性替换与矩阵合同，二次型的秩与惯性定理，二次型的标准形和规范
形，实对称矩阵的正定性。
6、线性空间 线性空间的概念与基本性质，线性空间的维数、基与向量的坐标，线性空间中的基变换与坐标变换，过
渡矩阵，线性子空间及其运算，线性空间的同构。
7、线性变换 线性变换的概念和简单性质，线性变换的运算，线性变换的矩阵，线性变换(矩阵)的特征值、特征向量
和特征子空间，线性变换的特征多项式及 Hamilton-Caylay 定理，矩阵相似的概念及性质，矩阵可对角化的 充分必要条件，线性变换的值域与核，线性变换的不变子空间，矩阵的若当标准型。
8、欧几里德空间

线性空间内积的定义及其性质，欧几里德空间的概念，标准正交基，施密特正交化过程，正交矩阵，正
交变换及其性质，正交子空间、正交补及其性质，实对称矩阵的特征值、特征向量，对角化，欧几里德空 间的同构。
主要参考书目:
《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，2003 年 7 月第 3 版，高等教育出版社 出版
三、试题结构
1.考试时间：3小时
2.试题类型：选择题15%，填空题15%，计算题15%，证明题55%