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2014年中国矿业大学070102计算数学考研大纲

  考研网快讯,据中国矿业大学研究生院消息,2014年中国矿业大学计算数学考研大纲已发布,详情如下:  

  一、考试目的与要求
  掌握函数概念及性质、数列极限的概念及计算;掌握实数基本定理、函数极限概念理论及计算;掌握函数连续性概念、理论;掌握导数与微分的概念、几何意义及计算;掌握一元函数中值定理及应用;掌握不定积分计算、定积分计算及应用;掌握数值级数审敛法、反常积分审敛法;掌握函数列与函数项级数收敛概念和判别方法;掌握幂级数基本概念、基本性质和基本理论;了解傅里叶级数基本概念、基本性质和基本理论;多元函数的极限与连续;多元函数微分学;了解隐函数定理;掌握含参变量积分、变限积分和线面积分。
  二、考试范围
  643数学分析
  数学分析(上、下册),华东师范大学数学系编,高等教育出版社出版。
  1.函数:实数概述,区间与邻域,函数概念,有界函数,单调函数,奇函数和偶函数,周期函数,复合
  函数,反函数,基本初等函数,初等函数。
  2.数列极限:数列极限定义,收敛数列的性质及运算,单调有界数列极限存在定理,两个重要极限。
  3.实数的基本定理:确界存在定理,区间套定理,Cauchy准则,聚点原理,有限覆盖定理,上下极限。
  4.函数极限:极限定义、性质,Heine定理,单侧极限,Cauchy准则,无穷小量及其阶的比较,记号o,
  O,~,广义极限,无穷大量及其阶的比较。
  5.函数的连续性:函数在一点连续性,单侧连续,间断点及其分类,函数在区间上的连续性,连续函数的局部有界性,保号性,有理运算。复含函数连续性,有齐闭区间上连续函数的性质,反函数连续性,初等函数的连续性。
  6.导数与微分:导数定义,单侧导数,导函数,导数的几何意义,无穷大导数,和、差、积、商的导数,反函数的导数,复合函数的导数,初等函数的导数;微分概念,微分的几何意义,微分的运算法则,一阶微分形式的不变性,微分在近似计算中的应用,高阶导数与高阶微分,由参量方程所表示的曲线的斜率。
  7.中值定理与导数应用:费马(Fermat)定理,罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(lagrange)中值定理,柯西(Cauchy)中值定理,泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余项),近似计算,函数单调性的判别法,极值,最大值与最小值,曲线的凹凸性、拐点、渐近线,函数图象的讨论,罗比塔(L′Hospital)法则。
  8.不定积分:原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则,换元积分法,分部积分法,有理函数积分法,三角函数有理式的积分,几种无理函数的积分.
  9.定积分:定积分定义,几何意义,可积的必要条件,上和、下和及其性质,可积的充要条件,闭区间
  上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数的可积性,定积分性质,微积分学基本定理,牛顿—莱布尼茨公式,换元积分法,分部积分法,近似计算。
  10.定积分的应用:简单平面图形面积,曲线的弧长与弧微分,曲率,已知截面面积函数的立体体积,旋转体积与侧面积,平均值,物理应用(压力、功、静力矩与重心等)。
  11.数项级数:级数收敛与和的定义,柯西准则,收敛级数的基本性质,正项级数,比较原则,比式判别法与根式判别法,拉贝(Raabe)判别法与高斯判别法,一般项级数的绝对收敛与条件收敛,交错级数,莱不尼茨判别法,阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法,绝对收敛级数的重排定理,条件收敛级数的黎曼(Riemann)定理。
  12.反常积分:无穷限反常积分概念,柯西准则,线性运算法则,绝对收敛,反常积分与数项级数的关系,无穷限反常积分收敛性判别法。
  无界函数反常积分概念,无界函数反常积分收敛性判别法。
  13.函数列与函数项级数:函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念,一致收敛的柯西准则,函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法*,函数列极限函数与函数项级数和的连续性,逐项积分与逐项微分。
  14.幂级数:阿贝尔第一定理,收敛半径与收敛区间,一致收敛性,收敛性,连续性逐项积分与逐项微分幂级数的四则运算。泰勒级数,泰勒展开的条件,初等函数的泰勒展开近似计算,用幂级数定义正弦、余弦函数。
  15.傅里叶(Fourier)级数:三角级数,三角函数系的正交性,傅里叶级数、贝塞尔(Bessel)不等式,黎曼
  —勒贝格(Riemann-lebesgue)定理,傅里叶级数的部分和公式,按段光滑且以2π为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理,奇函数与偶函数的傅里叶级数,以2L为周期的函数的傅里叶级数,一致收敛性定理,傅里叶级数的逐项积分与逐项微分,维尔斯特拉斯函数逼近定理。
  16.多元函数的极限与连续:平面点集概念(邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等)。平面点集的基本定理—区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限,累次极限,二元函数的连续性,复合函数的连续性定理,有界闭域上连续函数的性质。n维空间与n元函数(距离、三角形不等式、极限、连续等)。
  17.多元函数的微分学:偏导数及其几何意义,全微分概念,全微分的几何意义,全微分存在的充分
  条件、全微分在近似计算中的应用,方向导数与梯度,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式的不变性,高阶导数及其与顺序无关性,高阶微分,二元函数的泰勒定理,二元函数极值。
  18.隐函数定理的及其应用:隐函数概念,隐函数定理,隐函数求导。隐函数组概念,隐函数组定理,隐函数组求导,反函数组与坐标变换,函数行列式,函数相关。几何应用,
  条件极值与拉格朗日乘数法。
  19.含参量积分:含参量积分概念,连续性、可积性与可微性,积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛,一致收敛的柯西准则,维尔斯特拉斯判别法,连续性、可积性与可微性,积分顺序的交换,Γ函数与β函数。
  20.重积分:平面图形面积,二重积分定义与存在性,二重积分性质,二重积分计算(化为累次积分),二重积分的换元法(极坐标变换与一般变换)。三重积分定义与计算,三重积分的换元法(柱坐标变换、球坐标变换与一般变换)。重积分应用(体积,曲面面积,重心,转动惯量等)。n重积分。无界区域上及无界函数反常二重积分的收敛性概念。
  21.曲线积分与曲面积分:第一型和第二型曲线积分概念与计算,格林公式,曲线积分与路径无关条件。曲面的侧,第一型和第二型曲面积分概念与计算,奥斯特罗格拉特斯基一高斯公式,斯托克斯公式、场论初步(场的概念,梯度、散度、旋度、管形场、有势场).
  三、试题结构
  1.考试时间:3小时
  2.试题类型:计算题80%,证明题20%

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