2015年中国科学院大学070207光学考研大纲

　　考研网快讯，据中国科学院大学研究生院消息，2015年中国科学院大学光学考研大纲已发布，详情如下：

　　中国科学院大学硕士研究生入学考试
　　601高等数学（甲）考试大纲
　　一 考  试 性  质
　　中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等 数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、 等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地 质、气候学等专业的考生。
　　二 考试的基本要求
　　要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
　　三考试方法和考试时间
　　高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
　　四 考试内容和考试要求
　　（  一）  函数、极限、连续
　　考试内容
　　函数的概念及表示法   函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性   复合函数、反函数、分段函数和隐函数   基本初等函数的性质及其图形 数列极限与函数极限的概念    无穷小和无穷大的概念及其关系    无穷小的性质及无穷小的比较   极限的四则运算   极限存在的单调有界准则和夹逼准则   两个重要极限：
　　0sinlim 1xxx →= ，  e11(lim  函数连续的概念    函数间断点的类型    初等函数的连续性   闭区间上连续函数的性质    函数的一致连续性概念
　　考试要求
　　1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
　　2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。
　　3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。
　　4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
　　5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极 限之间的关系。
　　6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。
　　7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
　　9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
　　10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质。
　　11．理解函数一致连续性的概念。
　　（二  ）一元函数微分学
　　考试内容
　　导数的概念   导数的几何意义和物理意义   函数的可导性与连续性之间的关系   平面曲线的切线和法线   基本初等函数的导数   导数的四则运算   复合函数、反函数、隐函数的导数的求法    参数方程所确定的函数的求导方法   高阶导数的概念    高阶导数的求法    微分的概念和微分的几何意义    函数可微与可导的关系    微分的运算法则及函数微分的求法   一阶微分形式的不变性   微分在近似计算中的应用   微分中值定理   洛必达（L’Hospital）法则   泰勒(Taylor)公式   函数的极值   函数最大值和最小值   函数单调性   函数图形的凹凸性、拐点及渐近线   函数图形的描绘   弧微分及曲率的计算
　　考试要求
　　1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。
　　2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
　　3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
　　4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。
　　5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数
　　6. 会求反函数的导数。
　　7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
　　8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
　　9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
　　10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
　　11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
　　（  三） 一元函数积分学
　　考试内容
　　原函数和不定积分的概念   不定积分的基本性质   基本积分公式   定积分的概念和基本性质    定积分中值定理    变上限定积分定义的函数及其导数   牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式    不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法   有理函数、三角函数的 有理式和简单无理函数的积分   广义积分（无穷限积分、瑕积分）   定积分的应用
　　考试要求
　　1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
　　2. 熟练掌握不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
　　3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
　　4. 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。
　　5. 理解广义积分（无穷限积分、瑕积分）的概念，掌握无穷限积分、瑕积分的收敛性判别法，会计算一些简单的广义积分。
　　6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值。
　　（ 四） 向量代数和空间解析几何
　　考试内容
　　向量的概念   向量的线性运算   向量的数量积、向量积和混合积   两向量垂直、平行的条件   两向量的夹角   向量的坐标表达式及其运算    单位向量   方向数与方向余弦    曲面方程和空间曲线方程的概念   平面方程、直线方程   平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件   点到平面和点到直线的距离   球面   母线平行于坐标轴的柱面    旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程   常用的二次曲面方程及其图形   空间曲线的参数方程和一般方程   空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
　　考试要求
　　1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。
　　2. 熟练掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，掌握两向量垂直、平行的条件。
　　3. 理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，会用坐标表达式进行向量的运算。
　　4. 熟悉平面方程和空间直线方程的各种形式，熟练掌握平面方程和空间直线方程的求法。
　　5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
　　6. 会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。
　　7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。
　　8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
　　9. 了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
　　（ 五）多元函数微分学
　　考试内容
　　多元函数的概念   二元函数的几何意义   二元函数的极限和连续   有界闭区域上多元连续函数的性质    多元函数偏导数和全微分的概念及求法    全微分存在的必要条件和充分条件   多元复合函数、隐函数的求导法   高阶偏导数的求法   空间曲线的切线和法平面   曲 面的切平面和法线    方向导数和梯度    二元函数的泰勒公式   多元函数的极值和条件极值  拉格朗日乘数法   多元函数的最大值、最小值及其简单应用   全微分在近似计算中的应用
　　考试要求
　　1. 理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。
　　2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和极限的关系  会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性  了解有界闭区域上连续函数的性质。
　　3.  理解多元函数偏导数和全微分的概念  了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系，会求偏导数和全微分，了解二元函数两个混合偏导数相等的条件 了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
　　4. 熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。
　　5. 熟练掌握隐函数的求导法则。
　　6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
　　7. 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
　　8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。
　　9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值，并会解决一些简单的应用问题。
　　10. 了解全微分在近似计算中的应用
　　（  六）  多元函数积分学
　　考试内容
　　二重积分、三重积分的概念及性质   二重积分与三重积分的计算和应用   两类曲线积分的概念、性质及计算   两类曲线积分之间的关系   格林（Green）公式   平面曲线积分与路径无关的条件   已知全微分求原函数   两类曲面积分的概念、性质及计算   两类曲面积分之间的关系   高斯（Gauss）公式   斯托克斯（Stokes）公式   散度、旋度的概念及计算   曲线积分和曲面积分的应用
　　考试要求
　　1. 理解二重积分、三重积分的概念，掌握重积分的性质。
　　2. 熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），掌握二重积分的换元法。
　　3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。熟练掌握计算两类曲线积分的方法。
　　4. 熟练掌握格林公式，会利用它求曲线积分。掌握平面曲线积分与路径无关的条件。会求全微分的原函数。
　　5. 理解两类曲面积分的概念，了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系。熟练掌握计算两类曲面积分的方法。
　　6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，会利用它们计算曲面积分和曲线积分。
　　7. 了解散度、旋度的概念，并会计算。
　　8. 了解含参变量的积分和莱布尼茨公式。
　　9. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、曲面 的面积、物体的体积、曲线的弧长、物体的质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
　　（ 七） 无穷级数
　　考试内容
　　常数项级数及其收敛与发散的概念   收敛级数的和的概念   级数的基本性质与收敛的必要条件   几何级数与 p 级数及其收敛性   正项级数收敛性的判别法   交错级数与莱布尼茨定理   任意项级数的绝对收敛与条件收敛   函数项级数的收敛域、和函数的概念   幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域   幂级数在其收敛区间内的基本性质   简单幂级数的和函数的求法   泰勒级数   初等函数的幂级数展开式    函数的幂级数展开式在近似计算中的应用   函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数   狄利克雷（Dirichlet）定理   函数在[-l，l]上的傅里叶级数   函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数。函数项级数的一致收敛性。
　　考试要求
　　1. 理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
　　2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散情况。
　　3. 熟练掌握正项级数收敛性的各种判别法。
　　4. 熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　5. 理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
　　6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
　　7. 理解幂级数的收敛域、收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法。
　　8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
　　9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
　　10. 掌握一些常见函数如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
　　11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。
　　12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将周期为 2l的函数展开为傅里叶级数。
　　13. 了解函数项级数的一致收敛性及一致收敛的函数项级数的性质，会判断函数项级数的一致收敛性。
　　（ 八）  常微分方程
　　考试内容
　　常微分方程的基本概念   变量可分离的微分方程   齐次微分方程    一阶线性微分方程   伯努利（Bernoulli）方程   全微分方程   可用简单的变量代换求解的某些微分方程   可降价的高阶微分方程    线性微分方程解的性质及解的结构定理    二阶常系数齐次线性微分方程   二阶常系数非齐次线性微分方程   高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程   欧拉（Euler）方程    微分方程的幂级数解法    简单的常系数线性微分方程组的解法    微分方程的简单应用
　　考试要求
　　1. 掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2. 熟练掌握变量可分离的微分方程的解法，熟练掌握解一阶线性微分方程的常数变易法。
　　3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。
　　4. 会用降阶法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )
　　5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
　　6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
　　7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　8. 会解欧拉方程。
　　9. 了解微分方程的幂级数解法。
　　10.了解简单的常系数线性微分方程组的解法。
　　11 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
　　五 主要参考文献
　　《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996 年第四版，以及其后的任何一个版本均可。