2015年北京航空航天大学609数学专业基础课考研大纲

　　高等代数考试大纲
　　一、基本内容与要求
　　1、整数与数域上多项式的基本理论
　　掌握整数与多项式（包括对称多项式）的基本概念和求最大公因式的Euclid算法，整除与最大公因式的基本性质,复数域及实数域上的多项式因式分解定理,多项式函数的特点及根与系数的关系，有理系数多项式基本性质及Eisenstein准则，了解多元多项式基本概念,代数基本定理及其应用。
　　2、线性方程组
　　掌握求解线性方程组的Guass消元法，有解判定准则和解的结构定理；熟练掌握行列式性质与运算,用行列式解线性方程组的方法,初等变换的性质,运算以及在求秩、逆矩阵及解线性方程组等方面的应用。熟练掌握线性方程组的秩,齐次线性方程组的解空间维数,非齐次线性方程组的一般解之间的关系,性质及求法.
　　3、矩阵运算
　　了解矩阵及其运算以及和数域上向量空间上的线性映射的关系；熟练掌握矩阵的计算方法和基本性质及计算技巧,矩阵的秩与线性方程组的秩的关系,矩阵法解线性方程组的技巧；初等矩阵与初等变换的关系及运用技巧,学会线性方程组问题和矩阵问题的对应关系。熟练掌握矩阵的等价、相似、合同的概念和性质，以及与线性方程组、线性变换、二次型的关系，会利用它们解决相关问题。
　　4、线性空间基本理论
　　熟练掌握线性空间、线性映射的基本概念和理论，如向量的线性相关与线性无关及其性质、判断条件，向量组的秩相关性质及其灵活运用，子空间、不变子空间和直和的定义与性质，空间的同态、同构、向量的坐标及其在线性映射的性质。掌握空间的分解和分块阵的关系，线性空间在解线性方程组中的应用。
　　5、线性变换的基本性质和理论
　　熟练掌握线性变换的运算性质及特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算，线性变换与矩阵的关系，矩阵相似的概念和判定方法，Jordan标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法；掌握线性变换的像与核的概念、性质，维数定理及其应用；了解线性变换的最小多项式、矩阵的性质和应用及有理标准形的定义。
　　6、欧几里得空间基本理论
　　掌握欧几里得空间的基本性质，正交基和Schmidt正交化方法以及实对称矩阵的基本性质，正交变换的性质及应用，掌握将实对称矩阵通过正交变换化成对角阵的方法；了解最小二乘法及酉空间的定义；学会将线性方程组问题，矩阵问题，线性变换问题的相互转化，"几何地"思考理解线性代数问题。
　　7、对称矩阵和二次型理论
　　掌握二次型的基本理论及与矩阵理论的对应关系，掌握正定二次型的性质和应用及将实二次型化成标准型的方法，以及相应的矩阵合同、正定矩阵、对称方阵的性质和运用。了解多重线性代数的基本概念。
 

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