2017年天津职业技术师范大学理学院考研大纲

　　《高等代数》

　　考试的基本要求:

　　要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

　　考试内容和考试要求:

　　一、多项式理论

　　考试内容

　　多项式的相关概念和基本性质一元多项式的带余除法最大公因式的性质多项式唯一分解定理多元多项式的概念和对称多项式的基本性质

　　考试要求

　　1．理解和掌握基本概念，如整除、不可约性、互素、重因式、对称多项式等，熟悉一元多项式最大公因式的性质，知道多项式在复数域、实数域及有理数域上分解的特殊性。

　　2．熟悉(Euclid)带余除法，准确理解多项式唯一分解定理，能够理解和运用余数定理和重因式判定定理。

　　3．理解高斯(Gauss)引理，能够运用艾森斯坦(Eisenstein)判别法判定整系数多项式在有理数域上的不可约性。

　　4．理解代数基本定理。

　　二、行列式

　　考试内容

　　行列式的概念和基本性质行列式计算行列式按行（列）展开定理拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法则

　　考试要求

　　1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质、拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法则。

　　2.会应用行列式概念和基本性质计算行列式，能够熟练掌握行列式按行（列）展开定理，能够运用递推公式计算一些经典类型的行列式。

　　三、向量和矩阵

　　考试内容

　　向量的线性组合和线性表示向量组的等价向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

　　矩阵的概念矩阵的基本运算矩阵的转置伴随矩阵逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算

　　考试要求

　　1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。

　　2.理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。

　　3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

　　4.理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。

　　5.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。

　　6.掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。了解方阵的多项式概念。

　　7.理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的判别条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

　　8.掌握矩阵的初等变换、初等矩阵的性质和矩阵等价的条件，理解矩阵的秩的概念，了解矩阵的秩与行列式的关系。了解矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩的关系，了解n阶方阵非退化的概念及充分必要条件，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

　　9.熟悉分块矩阵及其运算。

　　四、线性方程组

　　考试内容

　　线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间及其维数非齐次线性方程组的通解

　　考试要求

　　1.会用克莱姆法则求解线性方程组。

　　2.掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

　　3.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

　　4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

　　5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

　　五、二次型

　　考试内容

　　二次型及其矩阵表示非退化线性替换与矩阵合同二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形二次型及实对称矩阵的正定性

　　考试要求

　　1.掌握二次型及其矩阵表示，理解非退化线性替换与矩阵合同的概念及性质，清楚二次型的非退化线性替换与二次型矩阵合同的关系。

　　2.熟练掌握二次型的标准形、秩、规范形的概念以及惯性定理，理解复对称矩阵合同的充分必要条件。

　　3.会用配方法化二次型为标准形。

　　4.掌握二次型及实对称矩阵正定的概念及性质，掌握二次型及实对称矩阵正定的判别法。

　　六、线性空间

　　考试内容

　　集合与映射的基本概念线性空间的概念与基本性质线性空间的维数、基与向量的坐标线性空间中的基变换与坐标变换过渡矩阵线性子空间及其运算线性空间的同构

　　考试要求

　　1.熟悉集合与映射的概念。

　　2.理解线性空间的概念掌握线性子空间的判定方法。

　　3.掌握线性空间的维数、基和坐标等基本概念和性质。

　　4.掌握线性空间的基变换公式和坐标变换与过渡矩阵的关系。

　　5.理解生成子空间的概念，掌握求子空间基和维数的方法。

　　6.掌握子空间的交、和、直积运算及其性质。

　　7.了解线性空间同构的概念，了解同构映射的性质。

　　七、线性变换，矩阵的特征值和特征向量

　　考试内容

　　线性变换的概念和简单性质线性变换的运算线性变换的矩阵线性变换（矩阵）的特征值、特征向量和特征子空间线性变换的特征多项式及Hamilton-Caylay定理矩阵相似的概念及性质矩阵可对角化的充分必要条件线性变换的值域与核线性变换的不变子空间矩阵的若当(Jordan)标准型

　　考试要求

　　1.掌握线性变换的概念、基本性质及运算。

　　2.理解线性变换的矩阵，了解线性变换与矩阵的对应关系。

　　3.掌握线性变换及其矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念及性质，能够熟练地求解线性变换及矩阵的特征值和特征向量。

　　4.了解关于特征多项式的Hamilton-Caylay定理，了解矩阵的迹。

　　5.把握线性变换的特征子空间、线性变换的不变子空间的概念。

　　6.掌握矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的充分必要条件。熟悉将矩阵化为对角矩阵的方法。

　　7.理解线性变换的值域、核、秩、零度的概念。

　　8.了解矩阵的若当(Jordan)标准型。

　　八、欧几里德空间

　　考试内容

　　线性空间内积的定义及其性质欧几里德空间的概念标准（规范）正交基施密特(Schmidt)正交化过程正交矩阵正交变换及其性质正交子空间、正交补及其性质实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵欧几里德空间的同构

　　考试要求

　　1.掌握线性空间内积、向量的正交、欧几里德空间等基本概念及性质。

　　2.理解正交变换和正交矩阵的关系，欧几里德空间中过渡矩阵的特殊性。

　　3.理解和掌握标准（规范）正交基的概念，掌握标准（规范）正交基的求法（施密特正交化过程），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。

　　4.掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。

　　5.理解和掌握正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。

　　6.理解正交子空间、正交补的概念及性质。

　　7.熟练掌握对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对给定的实对称矩阵A会求正交矩阵T使T′AT成为对角矩阵。

　　8.了解欧几里德空间同构的概念和性质，了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。

　　主要参考书目:

　　《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，2003年7月第3版，高等教育出版社出版

　　《数学分析》

　　考试的基本要求:

　　要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

　　考试内容和考试要求:

　　一、极限理论

　　考试内容

　　数列极限和函数极限的概念和基本性质柯西准则和语言基本极限及极限的四则运算迫敛性定理和单调有界原理无穷小的性质和应用

　　考试要求

　　1．理解和掌握基本概念，如有界、上确界、下确界、收敛、发散、无穷小等，熟悉收敛数列和收敛函数的性质，知道极限在分析类数学中的奠基性作用。

　　2．熟悉发散数列极限的的各种存在形式，准确理解数列极限和函数极限存在时的几何形状，能够理解和运用余数定理和重因式判定定理。

　　3．理解保号性引理，能够运用艾森斯坦(Eisenstein)判别法判定整系数多项式在有理数域上的不可约性。

　　4．深刻掌握和语言。柯西准则

　　5．理解等价无穷小，并能熟练用于求函数极限

　　二、连续函数

　　考试内容

　　间断点连续函数的概念和基本性质利用连续函数的性质求极限一致连续介值定理

　　考试要求

　　1.理解函数在一点连续的概念，掌握各类间断点。理解左极限、右极限与极限及间断点的分类与判断的关系。

　　2．理解连续函数的局部性质，掌握其几何直观和严密叙述转换的技巧。

　　2.理解一致连续定理，熟练掌握通过二次极限法证明函数一致连续的方法。

　　3．熟练使用介值定理和最值定理

　　三、导数和微分

　　考试内容

　　导数和微分地的定义微分的几何意义微分的物理意义高阶导数可微与连续的关系导数和微分的四则运算初等函数导数的计算复合函数的求导

　　考试要求

　　1.理解在某一点左可导、又可导及可导的准确定义，理解可导的充要条件。

　　2.理解微分为曲线的局部直线近似的几何意义，掌握利用导数判断函数图像形状的方法。

　　3.理解可微函数连续的几何解释和掌握基于无穷小分析得证明。

　　4.掌握导数和微分的四则运算和初等函数导数的计算。

　　5.掌握复合函数的求导。

　　6.掌握微分形式不变性。

　　四、微分中值定理及其应用

　　考试内容

　　三个中值定理洛比达法则泰勒公式函数的几何形状（单调、极值、凹凸性）

　　考试要求

　　1.利用罗尔中值定理和拉格朗日中值定理证明函数在某一点满足一代数方程。

　　2.熟练掌握洛比达法则，并清楚洛比达法则的适用范围。

　　3.熟练掌握两类泰勒公式的计算和处理公式中的高阶无穷小量。

　　4.理解一、二阶泰勒公式决定了函数曲线的基本性质，掌握用一阶导数和二阶导数判断单调、极值和凹凸性。

　　五、实数的完备性

　　考试内容

　　单调有界原理聚点定理有限覆盖定理区间套定理有界闭区间上连续函数

　　考试要求

　　1.理解六大原理并掌握相互等价的证明。

　　2．掌握用有限覆盖定理和区间套定理处理有界闭区间上的连续函数的性质。

　　六、一元积分学

　　考试内容

　　定积分的定义和几何意义不定积分和定积分的计算微积分基本定理变限积分定积分思想的应用计算各类积分广义积分

　　考试要求

　　1.理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题，可积的必要条件及上和、下和的性质。

　　2.积分与微分的互逆关系，原函数与不定积分的关系及其几何意义。

　　3.熟练运用基本积分表中的公式，换元法、分部积分法并能解决求积问题，特殊类型的初等函数的积分，如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。

　　4.理解掌握微积分学基本定理，熟练应用牛顿－莱布尼茨公式，变动上限积分，会对变动上限积分求导。

　　5.理解反常积分的概念，掌握无穷积分与无界函数的反常积分的收敛判断和计算方法

　　七、数项级数和函数项级数

　　考试内容

　　数项级数的收敛性与发散性绝对收敛条件收敛函数项级数的收敛性与发散性级数收敛与发散的判断准则一致收敛与交换极限

　　考试要求

　　1.掌握数项级数和函数项级数的收敛与发散性概念，掌握用极限理论分析级数。

　　2.理解数项级数收敛的必要条件，掌握莱布里兹尼法则判断交错级数的收敛性。

　　3.理解绝对收敛与条件收敛的区别，并掌握对绝对收敛级数的并、拆项操作。

　　4.掌握函数项级数的M-判别法、比值判别法和根值判别法。

　　5.掌握阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。

　　6.掌握一致收敛的基本证明方法。

　　7.理解一致收敛在函数项级数继承通项性质（连续、可微、可积）中的作用。

　　八、幂级数和傅立叶级数

　　考试内容

　　收敛半径阿贝尔定理幂级数展开傅立叶级数

　　考试要求

　　1.掌握求幂级数收敛半径、收敛区间。

　　2.掌握求函数的幂级数展开的技巧。

　　3.掌握求幂级数的和函数的技巧以及用来求数项级数的和。

　　4.掌握傅立叶级数、正弦级数和余弦级数。

　　九、多元函数微分学

　　考试内容

　　多元函数的极限二元连续函数偏导数、可微和高阶偏导数泰勒公式拉格朗日乘子法隐函数定理

　　考试要求

　　1.掌握二元函数极限、偏导数、方向导数的求法以及检验极限不存在的方法。

　　2.理解偏导数和可微的几何意义及其与函数连续偏导数连续之间的关系，并会求出曲面的法线和切平面。

　　3.掌握求较复杂函数的二阶偏导数的方法，尤其是熟练掌握链法则。

　　4.理解二阶泰勒公式并进而理解极值定理，掌握拉格朗日乘子法。

　　5.理解隐函数定理，并掌握计算隐函数或参数表示的函数的二阶偏导数。

　　十、重积分

　　考试内容

　　重积分的定义及几何意义变量代换极坐标、球面坐标和柱面坐标

　　考试要求

　　1.掌握重积分的定义几何意义并利用对称性化简。

　　2.理解并掌握化重积分为累次积分的计算技巧。。

　　3.理解变量代换的几何意义并掌握积累最重要的技巧。

　　4.熟练掌握利用极坐标、球面坐标和柱面坐标计算重积分。

　　十一、曲线积分和曲面积分

　　考试内容

　　第一、二型曲线积分第一、二型曲面积分格林公式奥-高公式

　　考试要求

　　1.理解第一、二类曲线积分和曲面积分的几何和物理意义。

　　2.理解并掌握格林公式，利用此公式熟练转化曲线积分与重积分的计算，并且深刻理解积分与路径无关与微分方程和场论的联系。

　　3.掌握奥-高公式并能在空中曲线积分、曲面积分和三重积分之间熟练转换。

　　4.了解场论中的格林公式的证明。

　　十二、含参变量积分

　　考试内容

　　含参变量积分的定义含参变量积分与函数项级数的关系广义含参变量积分的一致收敛与交换极限

　　考试要求

　　1.掌握用函数项级数处理含参变量积分的方法。

　　2.理解广义含参变量积分的一致收敛性，及积分号内外求极限（导数、积分）。

　　3.熟练掌握一致收敛的证明方法，尤其是二次极限的方法。

　　主要参考书目:

　　《数学分析》，华东师范大学数学系编，2004年12月第3版，高等教育出版社出版