2015年天津理工大学070104应用数学考研大纲

　　804数学分析
　　天津理工大学2014年硕士研究生入学考试大纲
　　一、考试科目：数学分析（804）
　　二、考试方式：考试采用笔试方式。考试时间为180分钟，试卷满分为150分。
　　三、试卷结构与分数比重:
　　试卷共分为四部分
　　一、填空题
　　二、选择题
　　三、计算题
　　四、证明题
　　四、考查的知识范围:
　　第二章
　　1、数列的极限。2、函数的根限。
　　3、函数的连续性。4、无穷小与无穷大。
　　基本要求：
　　（1）掌握极限的定义，会用ε——N，ε—δ语言证明极限存在。
　　（2）会求极限，掌握关于极限的性质。
　　（3）掌握函数连续的概念，会判断函数的连续性，会判断间断点及类型，熟悉连续函数的运算性质和局部性质。
　　（4）会比较无穷小的阶，并会使用等价无穷小求极限。
　　（5）熟悉闭区间上连续函数的性质。
　　第三章实数连续性定理
　　1、实数连续性的基本定理。
　　2、闭区间上连续函数性质的证明。
　　基本要求：
　　（1）熟悉六个实数连续性定理的条件与结论，这六个定理是：单调有界数列必有极限，确界原理，闭区间套定理，有界无穷数列必有收敛子列，有限覆盖定理，cauchy收敛准则。
　　（2）了解六个定理之间的逻辑关系。
　　（3）掌握函数一致连续的概念。
　　（4）掌握闭区间上连续函数的性质，并会使用这些性质证明一些较简单的命题。
　　（5）熟悉闭区间上连续函数性质的证明过程。
　　第四章导数与微分
　　1、函数导数的定义与求导公式。
　　2、求导法则：
　　（1）四则运算法则，（2）复合函数求导法则。
　　（3）隐函数及参数分程表示的函数的求导法则。
　　3、高阶导数
　　4、微分及其运算
　　基本要求
　　（1）掌握导数，左、右导数的定义，会用左、右导数求导数或证明导数的存在。
　　（2）熟练掌握求导法则，会求导数，包含高阶导数。
　　（3）理解导数与微分之间的关系，会求微分。
　　第五章微分中值定理及其应用
　　1、中值定理。2、泰勒公式。
　　3、函数的单调性，凸性，极值。
　　4、L’Hospital法则。
　　基本要求：
　　（1）掌握三个中值定理特别是拉格朗日中值定理的应用。
　　（2）熟悉泰勒公式及其余项的两种形式：拉格朗日余项和皮亚诺余项。
　　（3）会利用导数判断函数的单调性，凸性，求拐点。
　　（4）会求函数的极值，最值。
　　（5）会使用L’Hospital法则求极限。
　　第六章不定积分
　　1、不定积分的概念与运算法则。
　　2、不定积分的计算。
　　基本要求：
　　（1）熟练运用积分公式。
　　（2）掌握换元积分法，分部积分法。
　　（3）掌握有理函数积分法，简单有理函数和三角有理式的积分法。
　　第七章定积分
　　1、定积分的概念。2、定积分的可积性质。
　　3、定积分的性质。4、定积分的计算。
　　基本要求：
　　（1）掌握定积分的定义。
　　（2）会运用定积分的性质，特别是变限函数性质的应用。
　　（3）会计算定积分（N——L公式，换元积分与分部积分等）。
　　第八章定积分的应用
　　1、平面图形面积的计算。
　　2、曲线的孤长。
　　3、体积的计算：旋转体，截面面积已知。
　　4、旋转曲面的侧面积。
　　5、平均值。
　　下册
　　第九章数项级数
　　1、数项级数的收敛性和基本性质。2、正项级数。
　　3、任意项级数。4、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。
　　基本要求：
　　（1）掌握收敛级数的基本性质和Cauchy收敛准则。
　　（2）掌握一般项级数收敛的以下的判断法：收敛的充要条件，比较判断法，比值判别法，根式判别法，积分判别法，掌握交错级数收敛的判别法，任意级数转化为正项级数的判别法，掌握狄利克莱，阿贝尔判别法。
　　（4）了解绝对收敛级数，条件收敛级数的性质。
　　第十章广义积分
　　1、无穷限的广义积分。
　　2、无界函数的广义积分。
　　基本要求：
　　（1）广义积分的计算。
　　（2）掌握广义积分收敛的判别法。
　　第十一章函数项级数
　　1、函数项级数的收敛和一致收敛。
　　2、幂级数的收敛区间，和函数。
　　3、将函数展成幂级数。
　　基本要求：（1）掌握函数项级数的一致收敛性的概念，会判断一致收敛，主要是M——判别法。
　　（2）掌握一致收敛的函数项级数的三个分析性质：逐项微分、逐项积分、函数的连续性。
　　（3）会求幂级数的收敛半径，收敛区域。
　　（4）会求和函数以及将函数展成幂级数。
　　第十二章Fourier级数
　　1、函数展成Fourier级数。2、Fourier级数的收敛性。
　　基本要求：
　　（1）会求周期为2T的函数的Fourier级数。
　　（2）会将定义于[O、T]的函数展成正弦级数或余弦级数。
　　（3）掌握函数f（x）的Fourier级数的收敛性定理。
　　第十三章多元函数的极限与连续
　　1、平面点集。2、多元函数的极限。
　　3、多元函数的连续。
　　基本要求：
　　（1）熟悉距离，邻域，聚点、内点、开集、闭集、区域的概念。
　　（2）了解平面点集连续性定理。
　　（3）掌握多元函数极限的概念（主要是二元函数的极限），熟悉重极限与累次极限的关系。
　　（4）熟悉多元函数连续的概念，掌握极限的运算法则，连续函数的局部性质。
　　（5）熟悉有界闭区域连续函数的性质。
　　第十四章偏导数和含微分
　　1、偏导数和全微分的概念。
　　2、复合函数求偏导数的法则。
　　3、隐函数的求导法则。

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