石家庄铁道学院2007年硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

石家庄铁道学院2007年硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲 本大纲适用于报考石家庄铁道学院数学与应用数学专业的硕士研究生入学考试。制定本大纲的依据是①根据教育部颁发《数学分析》教学大纲的基本要求；②根据我国一些优秀教材所讲到的基本内容和知识点。

一、 考试方法和时间 ：考试方法为笔试，时间为 3 小时。

二、 总分 ： 150 分

三、 主要题型 ： 计算题，证明题。

四、 参考书目 ：《数学分析》，华东师范大学数学系，第三版，高等教育出版社。

《数学分析》，复旦大学编，高等教育出版社。
五、 考试内容：

第一章 实数集与函数 实数及性质，邻域，上确界与下确界，确界原理，函数概念及其特性。
第二章　　数列极限
数列极限定义，无穷小数列，收剑数列的性质，数列极限存在的条件（单调有界定理，柯西收敛准则）。
第三章　　函数极限
函数极限的概念，函数极限的性质，函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则），两个重要极限，无穷小量与无穷大量，阶的比较。
第四章　　函数连续
函数连续的概念，间断点及其分类，区间上的连续函数。连续函数的的局部性质，有界闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，初等函数的连续性 第五章 导数与微分 导数概念，求导法则，微分的概念，可微与可导，可微函数。一阶微分形式不变性，高阶导数与高阶微分概念，莱布尼兹公式。 第六章　 微分学基本定理及应用 罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则，泰勒定理，几个常用初等函数的泰勒展式。函数的单调性与极值，函数的凸性与拐点，函数作图
第七章　　实数完备性定理 实数完备性六个等价定理：闭区间套定理，聚点与聚点定理，有限覆盖与有限覆盖定理，确界定理，单调有界定理，柯西收敛准则。闭区间上连续函数整体性质的证明，上、下极限
第八章　　不定积分
不定积分概念与基本积分公式，换元积分法与分部积分法，几类可化为有理函数的积分。
第九章　　定积分 定积分的概念，定积分概念及性质：有限可加性，积分中值定理，变限积分，可积条件与可积函数类。微积分学基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。
第十章 定积分应用
平面图形面积计算，已知截面面积求体积，曲线弧长与曲率，重心坐标、平均值、变力作功等。 第十一章 广义积分
无穷区间广义积分的敛散性及判别原则，无界函数广义积分的敛散性判别原则。 第十二章　　数项级数 数项级数敛散性概念，级数收敛的柯西收敛准则与收敛级数的若干性质。正项级数收 性的判别原则。交错级数与莱布尼兹判别法。绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄得克雷判别法。 第十三章　　函数列与函数项级数 函数列及其一致收剑性概念与判别法，函数项级数及其一致收敛概念与判别法。一致收敛的函数列与函数项级数的性质及应用。 第十四章　　幂级数 幂级数的收敛区间、收敛半径,幂级数的一致收敛性问题,幂级数和函数的逐项连续、可导（微）、可积问题，几种常见初等函数的幂级数展开式。
第十五章　　付里叶级数 付里叶级数与付里叶系数，以２π为周期函数的付里叶级数；一般周期函数的付里叶级数，奇函数与偶函数的付里叶级数；收敛定理的证明。
第十六章　　多元函数极限与连续
平面点集与平面点集的完备性定理，二元函数的概念，多元函数的概念。二元函数极限概念，二元函数极限判别法与累次极限；二元函数连续性概念及其性质；有界闭域上连续函数的整体性质。
第十七章　　多元函数的微分学
偏导数与全微分概念与计算，可微条件 ；多元复合函数微分法及求导公式，方向导数与梯度，泰勒定理与极值。
第十八章　　隐函数定理及应用
隐函数概念，隐函数存在定理，反函数存在定理；隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式。平面曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线，条件极值与拉格朗日乘数法。 第十九章　　含参量积分
含参量常义积分概念及性质，含参量广义积分概念及一致收敛性。含参量广义积分一致收敛性判别法及其连续性、可导（微）性、可积性问题，欧拉积分。 第二十章　　曲线积分 第一型曲线积分的定义及其性质、计算；第二型曲线积分概念及性质、计算，两类曲线积分的关系；格林公式、积分与路径无关性及原函数。 第二十一章　　重积分 二重积分概念及性质，可积条件，可积函数。二重积分的计算：累次积分，换元积分法（极坐标变换与一般变换）。三重积分计算：累次积分，柱坐标变换，球坐标变换与一般坐标变换。重积分应用：曲面面积，重心坐标，转动惯量，引力。 第二十二章 曲面积分 第一型曲面积积分定义、性质、计算问题。第二型曲面积分定义、性质与计算，两类曲面积分的关系，高斯公式，斯托克斯公式。空间曲线积分与路径无关性；场的概念，梯度场、散度场和旋度。
六、考试要求：
第1章 实数集与函数
（1）了解实数域及性质
（2）掌握几种不等式及应用。
（3）熟练掌握邻域，上确界，下确界，确界原理。
（4）牢固掌握复合函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。 第2章 数列极限
（1）熟练掌握数列极限的定义。
（2）掌握收敛数列的若干性质。
（3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。 第3章 函数极限
（1）熟练掌握使用“ε-δ”语言叙述并证明各类型函数极限。
（2）掌握函数极限的若干性质。
（3）掌握函数极限存在的条件。（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。
（4）熟练应用两个重要极限
（5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。 第4章 函数连续性
（1）熟练掌握在 X₀ 点连续的定义,等价定义。
（2）掌握间断点及类型。
（3）了解在区间上连续的定义。
（4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。
（5）了解初等函数的连续性。 第5章 导数与微分
（1）熟练掌握导数的定义，几何、物理意义。
（2）牢固记住求导法则、求导公式。
（3）会求各类的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））。
（4）掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。
（5）深刻理解连续、可导、可微之关系。
第6章 微分中值定理、及应用 （1）牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。
（2）会用洛比达法则求极限，（掌握如何将其他类型的不定型转化为0/0型或 / 型）。
（3）掌握单调与符号的关系，并用它证明 f(x) 单调，不等式、求单调区间、极值等。
（4）会判定凹凸性及拐点。
（5）了解凸函数及性质，会用凸函数证明不等式。
（6）会求曲线各种类型的渐近线性。 第7章 实数完备性定理 （1）掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列。
（2）了解刻划实数完备性的六个定理的等价性，并掌握各定理的条件与结论。
（3）学会用六个定理证明其他问题，如连续函数性质定理等。
第8章 不定积分
（1）掌握原函数与不定积分的概念。
（2）记住基本积分公式。
（3）熟练掌握换元法、分部积分法。
（4）了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。
第9章 定积分
（1）掌握定积分定义、性质。
（2）了解可积条件，可积类。
（3）深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。
（4）熟练计算定积分。 第10章 定积分应用
（1）熟练计算各种平面图形面积。
（2）会求旋转体或已知截面面积的体积。
（3）会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积。
（4）会用微元法求解某些物理问题（压力、变力功、静力矩、重心等）。
第11章 广义积分 掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。
第12章 数项级数
（1）掌握数项级数敛散的定义、性质。
（2）熟练掌握正项级数的敛、散判别法。
（3）掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理，掌握阿贝尔判别法和狄里克莱判别法。
第13章 函数列与函数项级数
（1）掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义。
（2）掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。
（3）掌握函数列的极限函数，函数项级数的和函数性质。
第14章 幂级数
（1）熟练幂级数收敛域，收敛半径，及和函数的求法。
（2）了解幂级数的若干性质。
（3）特别牢固记住六种函数的马克劳林展式。
（4）会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。
第15章 付里叶级数
（1）熟记付里叶系数公式，并会求之。
（2）掌握以2π为周期函数的付里叶展式。
（3）理解掌握定义在（0,1）上函数可以展成余弦级数，正弦级数，一般付里叶级数。
（4）了解收敛性定理，贝塞尔不等式，勒贝格引理等几个重要定理。
第16章 多元函数极限与连续
（1）了解平面点集的若干概念。
（2）掌握二元函数二重极限定义、性质。
（3）掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系。
（4）掌握二元连续函数定义、性质。
第17章 多元函数微分学
（1）熟练掌握，可微，偏导的意义。
（2）掌握二元函数可微，偏导，连续以及偏导函数连续，概念之间关系。
（3）会计算各种类型的偏导，全微分。
（4）会求函数的方向导数与梯度。
（5）会求二元函数的泰勒展式及极值，条件极值。
第18章 隐函数定理及其应用
（1）掌握由一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式。
（2）掌握由 m 个方程 n 个变元组成方程组，确定 n-m 个隐函数组的条件，并会求这 n-m 个隐函数对各个变元的偏导数。
（3）会求空间曲线的切线与法平面。
（4）会求空间曲面的切平面与法线。
（5）掌握条件极值的拉格朗日乘数法。
第19章 含参量积分 （1）掌握含参量常义积分定义、性质及应用。
（1）掌握含参量广义积分一致收敛定义、性质。
（2）掌握含参量广义积分一致收敛判别法。
（3）会用积分号下求导、积分号下求积分的方法计算一些定积分（广义积分）。
（4）熟练掌握欧拉积分，递推公式及性质。
第20、22章 曲线积分与曲面积分
（1）熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算方法。
（2）了解两种曲线积分，两种曲面积分关系。
（3）熟练运用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式计算。
（4）掌握积分与路径无关的条件。
（5）了解场论初步知识，并会求梯度，散度，旋度。
第21章 重积分
（1）了解二重积分，三重积分定义与性质。
（2）掌握二重积分的换序，变量代换。
（3）会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分。
（4）重积分应用：求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。