西北工业大学2006年硕士研究生复试大纲——《数学(理学)》

题号:332

《数学(理学)》

考试大纲

一、考试内容

第一部分  高等数学

（一）、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数及其图形，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义以及它们的性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限:

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值、最小值定理和介值定理)

考试要求

1. 理解函数的概念，会作函数符号运算，并会建立简单应用问题的函数关系式。

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4. 掌握基本初等函数的性质及图形。

5. 理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6. 掌握极限的性质及四则运算法则。

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法。

8. 理解无穷小、无穷大及阶的概念，会用等价无穷小求极限。

9. 理解函数连续性的概念，会判断函数的间断点的类型。

10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值、最小值定理和介值定理)，并会应用这些性质。

（二）、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线及其方程，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数，一阶微分形式的不变性，罗尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)中值定理，洛必达（L’Hospltal)法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形凹凸性、拐点及渐近线，函数最大值和最小值及其简单应用。

考试要求

l. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义,并会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性的关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性。

3. 了解高阶导数的概念。会求分段函数的一阶、二阶导数，并会求简单函数的n阶导数。

4. 会求隐函数和由参数方程所确定响涵数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

5. 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理，并会应用它们解决一些简单问题。

6. 理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，会求函数的最大值和最小值.

7. 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线;

8. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

（三）、一元函数的积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分的概念及计算，定积分的应用。

考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

2. 掌握不定积分的基本性质，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3. 会求有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解变上限定积分定义的函数及其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

5. 了解广义积分的概念并会计算广义积分。

6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为己知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值等).

（四）、多元函数及多元函数微分学

考试内容

二重极限与二次极限，多元函数的连续性的概念，多元函数偏导数的概念，函数的连续性、可导性、可微性的概念与关系，多元复合函数、隐函数求导法则，多元函数求极值的方法，条件极值、方向导数、梯度、散度、空间曲面的切平面与法线，空间曲面的法平面与切线的概念。

考试要求

1. 理解多元函数的概念。

2. 知道二元函数的极限、连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解偏导数、全微分的概念；了解全微分存在的必要条件和充分条件。

4. 了解方向导数与梯度、散度的概念，掌握它们的计算方法。

5. 熟练掌握复合函数的求导法则，会求二阶偏导数。

6. 掌握空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线的求法。

7. 理解多元函数极值的概念，会求函数的极值；理解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

（五）、常微分方程

考试内容

常微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程组解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。

考试要求

l. 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念。

2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，会求齐次方程。

3. 会用降阶法求下列方程:

4. 理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。

5. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会求高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6. 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解与通解。

第二部分   线性代数初步

（一）、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理。

考试要求

1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2. 会应用行列式的性质及行列式按行(列)展开定理计算行列式。

（二）、矩阵

考试内容

矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵以及它们的性质，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，矩阵的伴随矩阵，矩阵的初等变换，矩阵等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

考试要求

1. 了解矩阵的概念。

2. 了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵，以及它们的性质。

3. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵乘积的行列式。

4. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，了解矩阵可逆的充分必要条件。了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

5. 理解矩阵的秩的概念。

6. 掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

（三）、线性方程组

考试内容

    向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大无关组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，求解线性方程组的克莱姆(Cramer)法则，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解，行初等变换求解线性方程组的方法。

考试要求

1. 了解n维向量的概念、向量的线性组合和线性表示。

2. 了解向量组的线性相关、线性无关的定义。

3. 了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

4. 了解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩。

5. 会用克莱姆法则。

6. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

7. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。

8. 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念。

9. 会用行初等变换求线性方程组的通解。

二、参考书目

1．同济大学数学教研室主编，《高等数学（第五版）》,高等教育出版社，2002

2．西北工业大学应用数学系线性代数编写组, 《线性代数》，西北工业大学出版社， 2001

3. 陆全、肖亚兰等编, 《高等数学常见题型解析及模拟题》，西北工业大学出版社，2003

4. 徐仲主编，《线性代数典型题分析解集（第二版）》，西北工业大学出版社， 2000