2014年湖南师范大学070102计算数学考研大纲

　　考研网快讯，据湖南师范大学研究生院消息，2014年湖南师范大学计算数学考研大纲已发布，详情如下：

　　2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
　　考试科目代码：[]考试科目名称：数学分析
　　一、试卷结构
　　1)试卷成绩及考试时间
　　本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
　　2)答题方式：闭卷、笔试
　　3)试卷内容结构
　　数学分析
　　4)题型结构
　　a:填空题，10小题，每小题7分，共70分
　　b:讨论题，3小题，每小题10分，共30分
　　c:解答题(包括证明题)，5小题，每小题10分，共50分
　　二、考试内容与考试要求
　　1、极限论
　　考试内容
　　①各种极限的计算；②单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用；③连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用；④极限定义的熟练掌握等.
　　考试要求
　　（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.
　　（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．
　　（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．
　　（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明.
　　2、单变量微分学
　　考试内容
　　①微分中值定理（包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等）
　　的灵活运用（包括单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题、等式和不等式的证明等）；②Talor公式的灵活运用（包括用Lagrange余项形式证不等式、用Peano余项形式估计阶以及求极限等）；③各种形式导数的计算；④导数的定义和运用等.
　　考试要求
　　（1）熟练掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的条件和结论，能熟练利用这些定理进行理论证明或计算，包括函数单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题的讨论、等式和不等式的证明等．
　　（2）熟练掌握Talor公式的条件和结论，并能做到灵活运用，尤其是利用Lagrange余项形式证不等式、Peano余项形式估计阶以及求极限等.
　　（3）熟练掌握复合函数导数的计算和高阶导数的计算．
　　（4）熟练掌握导数的定义和性质，能用逻辑语言进行理论证明，熟练掌握利用导数定义进行证明或计算.
　　3、单变量积分学
　　考试内容
　　①各种不定积分和定积分的熟练计算，尤其是计算中的处理技巧；②广义
　　积分的计算和敛散性判别；③定积分的定义和性质的灵活运用等.
　　考试要求
　　（1）熟练计算各种不定积分、定积分，熟练掌握凑微分法、换元法、分部积分法以及常用的计算技巧，熟练掌握奇偶函数、周期函数的积分特点．
　　（2）熟练掌握广义积分的计算，熟练掌握区间无限型、函数无界型以及混合型广义积分的敛散性判别，并能进行理论证明．
　　（3）熟练掌握定积分的定义，能利用定积分的定义进行极限的计算，熟练掌握定积分的性质，并能利用这些性质进行理论证明，掌握常用可积函数类．
　　4、级数论
　　考试内容
　　①各种数项级数尤其是正项级数的敛散性判别；②数项级数的性质
　　③函数列和函数项级数的一致收敛性判别，给定函数Fourier级数的展开和特殊点的收敛性；④函数列和函数项级数一致收敛性质的灵活运用；⑤幂级数的收敛性和展开等知识的熟练掌握.
　　考试要求
　　（1）熟练掌握级数的敛散性判别，尤其是正项级数和交错级数敛散性判别.
　　（2）掌握数项级数的一些常用性质，尤其是绝对收敛级数与条件收敛结束的常规性质.
　　（3）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的判别，尤其是用定义、优级数判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法判别函数项级数的一致收敛性，熟练掌握给定函数的Fourier展开，能给出Fourier级数在特殊点的收敛性.
　　（4）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的性质运用，包括连续性、可积性和可微性，能利用这些性质进行理论证明.
　　（5）熟练掌握幂级数收敛区间的求法，熟练掌握常规函数的幂级数展开，并掌握一些特殊幂级数和函数的求法.
　　5、多变量微分学和参变量积分
　　考试内容
　　①可微的定义；②求复合函数以及隐函数的偏导数；③多元函数极值理论；④参变量积分的一致收敛性判别；⑤参变量积分的计算；⑥参变量积分一致收敛性质的运用等.
　　考试要求
　　（1）掌握多元函数可微的定义，能熟练利用定义证明某些常规函数的可微性，掌握多元函数可微、连续、可求偏导之间的关系.
　　（2）熟练掌握多元函数复合函数求偏导数尤其是高阶偏导数，掌握方程或方程组确定的隐函数偏导的计算.
　　（3）熟练掌握多元函数极值的计算，并能计算有界闭域上连续函数的最值..
　　（4）熟练掌握含参变量广义积分一致收敛性的判别.
　　（5）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的计算.
　　（6）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的连续性、可积性和可导性，并能利用这些性质进行计算和证明..
　　6、多元积分学
　　考试内容
　　①二重积分、三重积分的计算；②格林公式、高斯公式的灵活运用；③两类曲线积分、两类曲面积分的计算；④各种积分之间的相互关系等
　　考试要求
　　（1）熟练掌握二重积分、三重积分的计算，熟练掌握降维、换元法，尤其是极坐标、球坐标变换.
　　（2）熟练掌握Gree公式、Gauss公式的条件和结论.
　　（3）熟练掌握第一类和第二类曲线积分和曲面积分的计算.
　　（4）掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，熟练掌握利用Gree公式求第二类曲线积分、利用Gauss公式求第二类曲面积分、利用Stokes公式求空间第二类曲线积分..
　　三、参考书目
　　[1]复旦大学数学系编.数学分析.高等教育出版社,1979
　　[2]华东师范大学数学系编.数学分析高等教育出版社,2001
　　[3]张学军、王仙桃等编.数学分析选讲.湖南师范大学出版社，2012