2015年黑龙江大学077401物理电子学考研大纲

　　黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲
　　考试科目名称：自命题数学一考试科目代码：[601]
　　一、考试要求
　　具有高中代数，平面解析几何，立体几何等基本知识。要求考生掌握一元函数微积分及其应用；常微分方程；空间解析几何；多元函数微积分及其应用；级数的一般理论及综合运算能力。
　　二、考试内容
　　第一章函数与极限
　　§1映射与函数
　　集合，映射，函数。
　　§2数列极限
　　数列极限的定义，收敛数列的性质。
　　§3函数的极限
　　自变量趋于无穷大时和自变量趋于有限点时函数的极限的定义，函数极限与数列极限的关系，函数极限的性质。
　　§4无穷小与无穷大
　　无穷小的定义与性质，无穷小与无穷大的关系。
　　§5极限运算法则
　　函数的极限与无穷小量的关系，极限的各种运算法则的证明，应用运算法则求极限。
　　§6极限存在准则，两个重要极限
　　极限存在的两个准则，两个重要极限。
　　§7无穷小的比较
　　无穷小的阶的比较，等价无穷小之间的关系，等价无穷小替换求极限。
　　§8函数的连续性与间断点
　　函数的连续性的定义，左连续和右连续的定义，函数的间断点及间断点的类型。
　　§9连续函数的运算与初等函数的连续性
　　连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，初等函数的连续性。
　　§10闭区间上连续函数的性质
　　有界性与最大、最小值定理，零点定理与介值定理。
　　第二章导数与微分
　　§1导数的概念
　　引例，导数的定义与几何意义，函数可导性与连续性的关系。
　　§2函数的求导法则
　　函数的和、差、积、商的求导法则，反函数、复合函数的求导法则。
　　§3高阶导数
　　§4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
　　隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率。
　　§5函数的微分
　　微分的定义，微分的几何意义，基本初等函数的微分公式，微分运算法则，微分在近似计算中的应用。
　　第三章微分中值定理与导数的应用
　　§1微分中值定理
　　Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。
　　§2洛必达法则
　　洛必达法则及其应用。
　　§3泰勒公式
　　Taylor公式及其应用。
　　§4函数的单调性与曲线的凹凸性
　　函数单调性的判定法，曲线的凹凸性与拐点。
　　§5函数的极值与最大值
　　函数的极值及其求法，最大值、最小值问题。
　　§6函数图形的描绘
　　§7曲率
　　弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径。
　　第四章不定积分
　　§1不定积分的概念与性质
　　原函数与不定积分的概念，基本积分表，不定积分的性质。
　　§2换元积分法
　　第一类换元法，第二类换元法。
　　§3分部积分法
　　分部积分法及应用。
　　§4有理函数的积分
　　有理函数的积分，可化为有理函数的积分举例。
　　第五章定积分
　　§1定积分的概念与性质
　　定积分问题举例，定积分的定义，定积分的性质。
　　§2微积分基本公式
　　变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系，积分上限函数及其导数，Newton-Leibniz公式。
　　§3定积分的换元法和分部积分法
　　定积分的换元法，定积分的分部积分法。
　　§4反常积分
　　无穷限的反常积分，无界函数的反常积分。
　　第六章定积分的应用：
　　§1定积分的元素法
　　定积分元素法的认识。
　　§2定积分在几何学上的应用
　　平面图形的面积，立体的体积，平面曲线的弧长。
　　§3定积分在物理学上的应用
　　变力沿直线所作的功，水压力，引力。
　　第七章空间解析几何与向量代数
　　§1向量及其线性运算
　　向量的概念，向量的线性运算，空间直角坐标系，利用坐标作向量的线性运算，向量的模、方向角、投影。
　　§2数量积向量积混合积
　　两向量的数量积、向量积。
　　§3曲面及其方程
　　曲面方程的概念，旋转曲面，柱面，二次曲面。
　　§4空间曲线及其方程
　　空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影。
　　§5平面及其方程
　　平面的点法式方程，平面的一般方程，两平面的夹角。
　　§6空间直线及其方程
　　空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角，直线与平面的夹角，杂例。
　　第八章多元函数微分法及其应用
　　§1多元函数的基本概念
　　平面点集、多元函数的概念，多元函数的极限与连续性。
　　§2偏导数
　　偏导数的概念、计算，高阶偏导数。
　　§3全微分
　　全微分的概念，全微分存在的条件及计算。
　　§4复合函数微分法
　　复合函数的导数与微分。
　　§5隐函数微分法
　　一个方程的情形。
　　§6多元函数微分学的几何应用
　　空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，方向导数。
　　§7多元函数的极值
　　多元函数的极值，最大（小）值，条件极值。
　　第九章重积分
　　§1二重积分的概念与性质
　　二重积分的概念与性质。
　　§2二重积分计算法
　　直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算。
　　§3三重积分
　　三重积分的概念，在直角坐标系下计算三重积分，三重积分的柱面坐标与球面坐标换元法。
　　§4重积分的应用
　　面积，体积，质心的坐标，转动惯量及引力。
　　第十章曲线积分与曲面积分
　　§1对弧长的曲线积分
　　第一类曲线积分的概念、性质与计算。
　　§2对坐标的曲线积分
　　第二类曲线积分的概念、性质与计算，两类曲线积分之间的联系。
　　§3Green（格林）公式及其应用
　　Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分求积。
　　§4对面积的曲面积分
　　对面积的曲面积分的概念与性质，对面积的曲面积分的计算方法。
　　§5对坐标的曲面积分
　　对坐标的曲面积分的概念与性质，对坐标的曲面积分的计算方法，两类曲面积分之间的联系。
　　第十一章无穷级数
　　§1常数项级数
　　常数项级数的概念与性质。
　　§2常数项级数的审敛法
　　正项级数及其收敛法，交错级数及Leibniz（莱布尼兹）定理，绝对收敛与条件收敛。
　　§3幂级数
　　函数项级数及其收敛域，幂级数的收敛域及收敛区间，幂级数的运算。
　　§4函数展开成幂级数
　　泰勒级数，函数展开成泰勒级数。
　　§5Fourier（傅里叶）级数
　　第十二章微分方程
　　§1微分方程的基本概念
　　微分方程的阶数，微分方程的初值问题
　　§2可分离变量的微分方程
　　隐式解，隐式通解
　　§3齐次方程
　　齐次方程，可化为齐次方程的方程
　　§4一阶线性微分方程
　　线性方程，伯努利方程
　　§5全微分方程
　　全微分方程的求解
　　§6可降阶的高阶微分方程
　　型微分方程，型微分方程，型微分方程
　　§7高阶线性微分方程
　　线性微分方程解的结构，
　　§8常系数齐次线性微分方程
　　§9常系数非齐次线性微分方程
　　型，型，
　　§10微分方程的幂级数解法
　　三、试卷结构
　　1．考试时间：180分钟
　　2．试卷分值：150分
　　3．题型结构：（1）选择题20分
　　（2）填空20分
　　（3）大题（包括证明题、计算题）110分
　　四、参考书目
　　《高等数学》（第五版），同济大学应用数学系，高等教育出版社。