2022年东北石油大学硕士研究生招生考试初试自命题科目考试大纲-数学分析

命题单位： 数学与统计学院

考试科目代码：         705                

考试科目名称： 数学分析

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容结构

数学分析100%。

四、试卷题型结构

试卷题型结构为：计算题90分；证明题60分。

五、考试内容知识点说明

（一）极限与连续

考试内容：

数列极限定义，收敛数列的性质，单调有界原理，柯西准则，函数极限概念。函数极限性质。归结原理，柯西准则。两个重要极限，无穷小量，无穷大量概念。无穷小量阶的比较。连续性概念。连续函数的局部性质。闭区间上连续函数的性质。反函数的连续性。一致连续性，指数函数的连续性。初等函数连续性。区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理。

考试要求：

1.理解数列极限的定义，数列极限性质的原理及推导。单调有界原理，柯西准则及应用。

2.掌握函数极限的定义，函数极限存在的归结原理。

3.理解连续性的定义及其证明，间断点及其分类。连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质。

4.了解区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理原理及证明。闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。

5.熟练掌握数列极限定义证明，运算求极限。函数极限定义证明，运算求极限。函数极限柯西准则及应用。两个重要极限的计算，无穷小量，无穷大量概念，无穷小量阶的比较及应用。一致连续性及应用。

（二）一元函数微分学

考试内容：

导数概念，导函数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，求导法则与公式，微分概念，微分的运算法则，高阶导数与高阶微分，参数方程的一阶及二阶导数。中值定理。不定式极限。泰勒公式。函数的单调性与极值，函数的凸性，拐点。函数的图象讨论、渐进线，作图。

考试要求：

1.理解和掌握导数概念，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数。求导法则与公式。微分概念，微分的运算法则。高阶导数与高阶微分。 参数方程的一阶及二阶导数。

2.理解和掌握费尔马定理，中值定理的原理及应用。

3.熟练计算未定式的极限。

4.熟练掌握泰勒公式，皮亚诺余项泰勒公式原理及应用，函数的单调性与极值，函数的凸性，拐点。

（三）一元函数积分学

考试内容：

原函数与不定积分。换元积分法及分部积分法。有理函数的积分。三角函数的积分。定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。定积分的性质。微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法。反常积分的定义，性质，判别准则。平面图形的面积。由截面面积求立体体积。弧长的定义，弧长的积分公式。旋转曲面的面积。

考试要求：

1.理解和掌握不定积分的运算法则，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数的积分。定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。    2.熟练掌握定积分的性质原理，微积分基本定理，换元积分法，分部积分法及应用。

3.掌握反常积分的定义，性质，熟练掌握反常积分判别准则。

4.熟练掌握平面图形的面积的计算。由截面面积求立体体积。曲线的弧长。旋转曲面的面积。

（四）无穷级数

考试内容：

级数的收敛性及发散。正项级数及其收敛性。一般项级数及其收敛性。函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别法。幂级数的性质及其运算。函数的幂级数展开。

考试要求

1.熟练掌握级数一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法原理及使用。交错级数。阿贝尔判别法，狄利克雷判别法原理及应用。

2.熟练掌握函数列的一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用。一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。

3.熟练掌握阿贝尔定理，幂级数收敛区间判别方法，幂级数的分析性质，泰勒级数，幂级数的展开原理及应用。

（五）多元函数微分学

考试内容：

平面点集，完备性定理，函数概念，二元函数的极限，累次极限。连续性概念，闭域连续性的性质。可微性，全微分，偏导数，可微性条件。复合函数的求导法则，复合函数的全微分。方向导数与梯度。泰勒公式与极值，中值定理和泰勒公式，极值问题。隐函数定理，隐函数组定理，隐函数求导。曲线切线和发平面，曲面的法平面与切线。

考试要求：

1.了解平面点集，函数概念，完备性定理。

2.熟练掌握二元函数的极限的计算，累次极限的计算。

3.理解连续性概念，闭域连续性的性质及应用。

4.掌握可微性，全微分，偏导数，可微性条件概念。

5.熟练掌握复合函数的求导法则，复合函数的全微分。

6.理解方向导数与梯度概念。熟练掌握：高阶偏导数，中值定理和泰勒公式， 极值的充分及必要条件原理及应用。

7.熟练掌握隐函数，隐函数组的求导原理及应用。

8.熟练掌握曲线切线和发平面，曲面的法平面与切线。

（六）多元函数积分学

考试内容：

二，三重积分概念，重积分可积条件。累次积分，换元积分，参量积分求导。曲面面积，重心，转动惯量，引力。含参变量非正常积分判别方法，分析性质。欧拉积分概念及性质。第一型曲线积分与第一型曲面积分概念，计算公式。第二型曲线积分概念，计算公式。格林公式，曲线积分与路径无关。第二型曲面的侧概念，计算公式。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。

1.理解二重积分概念，二重积分可积条件。三重积分概念。曲面面积，重心，转动惯量，引力。第一型曲线积分与第一型曲面积分概念。第二型曲线积分概念。

2.熟练掌握二重积分的计算：累次积分，换元积分，参量积分求导。三重积分累次积分，换元积分的计算。

3.理解和掌握：含参变量非正常积分判别方法，分析性质。欧拉积分概念及性质。

4.熟练掌握第一型曲线积分与第一型曲面积分计算公式，第二型曲线积分计算公式，第二型曲面积分计算公式。格林公式，路径无关定理。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。

六、参考资料

1.华东师范大学数学系编.数学分析（第五版）.高等教育出版社，2019.

2.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.高等教育出版社，2006.