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中国科学技术大学硕士专业介绍:动力系统


  动力系统是当代数学研究的热点领域之一。动力系统的研究可以追溯到牛顿—那位创立微积分、建立三大运动定律以及万有引力定律的非凡的科学家。在牛顿的体系中, 以时间为参变量的微分方程占据了主导地位。牛顿的经典著作《自然哲学的数学原理》在接下来的两个世纪中成为人们研究天体问题的典范,人们甚至乐观地认为我们可以像牛顿顺利解决二体问题那样通过求出微分方程的显示解来处理任何天体问题。遗憾的是,这种希望从未实现。
  
  到了十九世纪末,情况发生了一个质的转折。著名的法国数学家Poincaré发表了他的著作《天体力学的新方法》。一个重要的转变在于他将相空间的几何—系统参数向量所有可能值的空间—引入分析过程,将人们的注意力从方程的单个解转移到所有可能的解曲线及其相互关系上来。这种方法对单个解不能提供太多信息,但却能得到一些、甚至大部分解曲线的信息。在颇具遍历论味道的方法下,Poincaré说明了,对所有有界Hamilton系统,“大部分”解曲线是在Poisson意义下稳定的。随着Poincaré定性分析方法的引入,动力系统研究的焦点从以微分方程来定义系统的模式转到相空间与作用群上。Birkhoff的工作无疑使这种转变更加明朗化。在1927年的著作《动力系统》中,他以一般度量空间上的群作用作为动力系统来研究众多动力学性质。特别地,他在这个一般范畴下重建了前面提到的Poincaré的结论。

  研究方向可分为:
  拓扑动力系统、遍历理论、微分动力系统、Hamilton系统、微分方程的定性理论、随机动力系统等。
  
  相对于国际上的发展,动力系统在中国的发展要晚的多,已故的廖山涛先生是中国动力系统研究的开山之人。廖先生1961年开始从代数拓扑学领域转向刚刚兴起的微分动力系统领域,是这一领域的少数几个先驱者之一。相对于其他的研究方向,动力系统研究方向在科大的兴起是在80年代,并且与廖山涛先生有密切的关系。80年代初在他的关切鼓励下,我国一批中年数学工作者,包括当时在我校工作的张景中、熊金城和杨路,进入了动力系统方面的研究工作。经过近30年的发展,科大的动力系统研究方向已成为科大主要的研究方向之一、我国在该方向上的一支重要的研究力量和在国际上有影响的研究方向。
  
  目前科大的动力系统研究方向共有科研人员9名,主要研究人员有长江学者叶向东教授、中国科学院百人计划沈维孝教授、百篇优博及新世纪优秀人才王毅副教授、黄文副教授、梁兴副教授,以及李思敏副教授、邵松副教授、屠彩凤副教授、叶盛副教授等。主要从事拓扑动力系统、遍历理论、复动力系统和微分方程的定性理论的研究。

  具体研究问题与目标包括:
  1.多重遍历定理和Erdos-Turan猜测;
  2.拓扑动力系统的局部化理论, 以及与混沌、熵以及系统回复属性相关的系统复杂性问题;
  3.光滑区间映射的Cantor吸引子、绝对连续的不变测度,以及它们在二维动力系统中的可能推广;
  4.Julia集的测度与Hausdorff维数;
  5.非自治、随机单调无限维动力系统的动力学性态
  6.非线性Shrodinger方程的耗散奇异摄动与时空混沌;
  7.群对称单调动力系统渐近对称性及其与时间空间(几乎)周期行波解、渐近传播速度关系;
  8.非均匀搅动微生物衡化器动力学分析。
  
  自从1985年科大动力系统方向开始招收研究生以来,已为国内外培养了大批的优秀人才,其中王毅、黄文和梁兴获得全国百篇优秀博士论文及新世纪优秀人才基金。目前他们正在国内外的高校和计算机领域贡献自己的聪明才智。

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