2014年考研上海交大840运筹学与概率统计真题（回忆版）

   一、（20分）已知线性规划问题 

     minZ=CTX（这里的CT表示C的转置）              

     s.t.  AX≥b，X≥0

具有n个极点，其中C，b分别是常数列向量，A为系数矩阵，X为解向量。

证明：该线性规划问题的最优解必定出现在某极点上。

二、（35分）已知线性规划问题          

    MaxZ=c1X1+c2X2+c3X3              s.t. a11x1+a12x2+a13x3≤b1             a21x1+a22x2+a23x3≤b2            a31x1+a32x2+a33x3≤b3                  

x1  , x2  , x3  ≥0

为某企业消耗三种资源可获三种生产计划模型。经计算求得如下最终单纯性表，其中X4,X5,X6为松弛变量。

问题：（1）推算出原始规划模型中的未知系数aij,bij,cj(i=1,2,3 ;j=1,2,3)          
（2）据调查，第一种资源的原始限量b估计时有误，正确的估计量为12+6μ，其中μ是待定参数。求μ值的范围，使已确定的最优生产计划仍然可行。          
（3）现在原始模型中添加了X1，X2，X3均为整数的要求，请确定此时的最优生产计划。
三、（20分）某实验室拥有一台高精度超声诊断仪，每天只能对外来客户进行一次检测服务，假设服务及客户源都是无限的。已知客户按Poisson流到达，平均每周收到λ次服务申请，仪器检测时间服从指数分布，每次检测费P元，客户每等待一天的损失费为C元。
问题：（1）求使总期望损失最小的检测服务效率；          
（2）在总期望损失最小的服务效率下，如果将服务强度固定为α，则可以利用检测费与客户等待损失费的比率对服务申请进行估算。请给出估算公式。 
四、（20分）某区域地下排水管网系统如下图所示，其中节点表示各下水道的入口。图上所标记已是最大流，各弧所标第一位数表示弧的容量，第二位数表示弧的实际流量，该系统没有考虑自然降雨量。
问题：现在考虑最大降雨量为10，请画出此种情况下的网络图，并求出相应最大流。  
五、（20分）某地区有n个常住居民，需要通过验血进行某种疾病普查，假设每个人的验血结果都是独立的，并且呈阳性的概率为p，呈阴性的概率为q=1-p。为此设计了两种方案。
     甲方案（不分组）：逐人采血、验血，共需验血n次。
乙方案（分组）：将n个人分成若干组，每组k个人。验血方法式将每一组的血液混合在一起，经过一次验血，如果验血结果呈阴性，表明该组通过检验，无需再验。反之，如果呈阳性，则需要对该组的血液再逐一检验。
问题：（1）请计算并比较甲、乙两种方案的人均验血次数。          
（2）在已知q的条件下，采用乙方案时，各组中的最佳人数应满足什么条件。注：下列答题中可能用到的统计单位
Z0.1=1.282; Z0.05=1.645; Z0.025=1.960 ;P{Z≤3.0}=0.99865 ； P{Z≤2.0}=0.97725；P{Z≤1.5}=0.93319 ； P{Z≤-1.5}=0.06681   
六、（20分）某种流行的软饮料灌装在2000ml的瓶子里销售。灌装过程中进入瓶子的饮料呈正态分布，均值是2000ml，标准差是20ml。
问题：（1）灌装过程中，起装量大于60ml，溢出的饮料将引发机器故障，计算出此种机器故障发生的概率。          
（2）瓶子里少装30ml及其以上将判为不合格产品，计算不合格产品的概率。          
（3）现从一批产品中随机抽检100瓶饮料，平均灌装量1997ml，请问在0.1的显著性水平下，该批产品是否合格。  
七、（15分）某市估计有25万张交通卡需要经常性退卡，为减少退卡人的抱怨，公交企业需要设置退卡网点。假定每张交通卡的持有人相互独立，并且同时退卡的可能性是10%。
问题：请计算回答，若以95%的把握保证退卡人不排队，至少需要多少个退卡点。