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2015年海南师范大学070103概率论与数理统计考研大纲(官方)

  考研网快讯,据海南师范大学研究生院消息,2015年海南师范大学070103概率论与数理统计考研大纲已发布,详情如下:

  海南师范大学硕士研究生入学考试初试科目

  考 试 大 纲

科目名称:

数学分析

适用专业:

数学各专业

     

  一、考试形式与试卷结构

  (一)试卷满分 及 考试时间

  本试卷满分为 150分,考试时间为180分钟。

  (二)答题方式

  答题方式为闭卷、笔试。

  试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。

  二、考查目标(复习要求)

  全日制攻读硕士学位研究生入学考试数学分析科目考试内容包括数学分析一门学科基础课程,要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法,并能运用相关理论和方法分析、解决相关的实际问题。

  三、考试内容概要

  第一章 函数

  1、 考试内容

  函数概念,函数的奇偶性、周期性、有界性、无界性,复合函数和反函数,初等函数。

  2、 考试要求

  理解函数、复合函数及反函数的概念,掌握函数的奇偶性、周期性、有界性、无界性和各初等函数的表达式、图形及其基本性质。

  3、重点与难点

  重点:函数概念,函数无界,复合函数和反函数,初等函数的图形。

  难点:函数无界概念。

  第二章 实数连续性定理简介

  1、 考试内容

  实数的连续性简介,介绍戴德金连续性定理、确界原理、闭区间套定理三个定理中的某一个。

  2、考试要求

  了解实数的连续性,理解戴德金连续性定理、确界原理、闭区间套定理三个定理中的某一个定理。

  3、重点与难点

  重点:实数的连续性,戴德金连续性定理、确界原理、闭区间套定理。

  难点:戴德金连续性定理、确界原理、闭区间套定理。

  第三章 极限与函数的连续性

  1、 考试内容

  数列和函数极限的概念,极限的四则运算及其性质,单调有界原理,Heine定理,二个重要极限,函数的连续性,间断点,初等函数的连续性及其性质,闭区间上连续函数的性质,闭区间套定理,无穷小量与无穷大量的比较。

  2、考试要求

  理解数列和函数极限的概念,能够利用e-d语言证明数列及函数极限问题;掌握极限的性质,Heine定理和单调有界原理;能够利用二个重要极限求解其它极限;理解函数的连续性和间断性,掌握连续函数的基本性质,理解闭区间上连续函数的性质,闭区间套定理;懂得比较两个无穷小量及无穷大量。

  3、重点与难点

  重点:数列极限、函数极限和函数的连续性;单调有界原理和闭区间套定理。

  难点:极限定义,闭区间套定理,Heine定理。

  第四章 导数与微分

  1、 考试内容

  导数定义,导数的几何意义,导数的四则运算、反函数的求导法则和复合函数求导的链式法则; 隐函数与参数方程确定的函数的求导法则;高阶导数;微分概念与微分的几何解释;微分法则,一阶微分的形式不变性。

  2、考试要求

  掌握导数的概念及其几何意义,掌握求导方法,会计算隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数,牢记基本初等函数求导公式,会求简单的函数高阶导数;理解微分的概念和一阶微分形式的不变性。

  3、重点与难点

  重点:导数定义及其几何意义,求导法则。

  难点:复合函数求导法则和隐函数求导法则。

  第五章 微分中值定理及其应用

  1、 考试内容

  极值概念;Fermat定理和 微分中值定理(Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理); L'Hospital法则;利用导数研究函数的各种性质(单调性与极值,函数的凸性); 函数极值的判别法;利用导数求函数的渐近线并且绘制函数的图像。

  2、考试要求

  掌握Fermat定理和Rolle定理,Lagrange中值定理,理解Cauchy定理;掌握L'Hospital法则,会利用L'Hospital法则求待定式的极限;掌握函数的单调性、凹凸性与其导函数之间的关系,会求函数极值及函数的拐点;能够利用导函数进行函数作图。

  3、重点与难点

  重点:微分中值定理及其证明,L'Hospital法则,利用导数研究函数的性质。

  难点:微分中值定理及其证明,函数极值的求法及其判别。

  第六章 不定积分

  1、 考试内容

  原函数和不定积分的概念;不定积分的基本公式;换元积分法,分部积分法;有理函数的积分;三角函数有理式的积分;某些无理函数的积分。

  2、 考试要求

  掌握原函数和不定积分的概念,熟记不定积分的基本公式;掌握换元积分法和分部积分法;掌握有理函数的积分,理解三角函数有理式的积分,了解某些无理函数的积分。

  3、重点与难点

  重点:不定积分概念,积分法则。

  难点:换元积分法和分部积分法。

  第七章 定积分

  1、 教学学内容

  定积分概念及其几何意义;定积分的基本性质;函数的一致连续性,康托定理; Newton-Leibniz公式;定积分换元积分法和分部积分法。

  2、 考试要求

  掌握定积分概念及其几何意义、定积分的基本性质; 掌握函数的一致连续性、康托定理、Newton-Leibniz公式、定积分换元积分法和分部积分法。

  3、 重点与难点

  重点:定积分概念,函数的一致连续性,Newton-Leibniz公式。

  难点:定积分概念,函数的一致连续性,Newton-Leibniz公式。

  第八章 微积分的应用

  1、 考试内容

  Taylor公式,初等函数的Taylor公式;微元法;微积分在几何上的应用(平面图形的面积,已知截面积的立体体积,旋转体的体积,平面上的光滑曲线的弧长,曲线曲率,旋转体侧面积计算);微积分在物理上的应用(总压力问题,变力作功问题)。开普勒三定律与万有引力定律。

  2、 考试要求

  掌握Taylor公式,能够利用各种方法求函数的Taylor公式;掌握微元法,能够利用积分求平面图形的面积、已知截面积的立体体积、旋转体的体积、平面上的光滑曲线的弧长、旋转体侧面积计算以用变力作功等简单物理问题;了解开普勒三定律与万有引力定律的数学建模;了解曲线曲率的求法。

  3、 重点与难点

  重点:Taylor公式,求函数的Taylor展开式;微元法。

  难点:Taylor公式;微元法,把实际问题转化为积分问题;开普勒三定律与万有引力定律。

  第九章 再论实数系

  1、 考试内容

  实数连续性的等价描述:戴德金分割定理,确界原理,单调有界原理;实数闭区间上的紧致性,有限覆盖定理,闭区间套定理,紧致性定理;实数的完备性,柯西收敛原理;再论闭区间上连续函数的性质;函数的可积性。

  2、 考试要求

  掌握确界原理、单调有界原理、闭区间套定理、紧致性定理和柯西收敛原理,理解戴德金分割定理,有限覆盖定理;懂得利用实数各基本定理证明闭区间上连续函数的性质;理解积分 上下和的概念、函数的可积性的充要条件。

  3、 重点与难点

  重点:确界原理、单调有界原理、闭区间套定理、紧致性定理和柯西收敛原理。

  难点:,戴德金分割定理,有限覆盖定理,函数的可积性的充要条件,柯西收敛原理。

  第十章 数项级数

  1、 考试内容

  数项级数的收敛和发散,级数收敛的必要条件,收敛级数的基本性质,正项级数收敛的判别法(比较判别法、比值判别法、根式判别法、拉阿比判别法、积分判别法) ;交错级数和Leibniz判别法,绝对收敛与条件收敛,柯西收敛原理,Abel变换以及关于一般数项级数的Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法,级数的重排问题及乘积问题。

  2、 考试要求

  掌握数项级数收敛和发散的概念、级数收敛的必要条件、收敛级数的基本性质,正确运用正项级数收敛的判别法(比较判别法、比值判别法、根式判别法、拉阿比判别法、积分判别法)、交错级数的Leibniz判别法,掌握绝对收敛与条件收敛的概念,理解柯西收敛原理,Abel变换,能够利用Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法判断级数的敛散性, 了解级数的重排问题及乘积问题。

  3、 重点与难点

  重点:正项级数收敛的判别法(比较判别法、比值判别法、根式判别法、积分判别法),Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法。

  难点:柯西收敛原理,Abel变换的利用。

  第十一章 广义积分

  1、 考试内容

  无穷积分和瑕积分的概念及其敛散性(包括绝对收敛和条件收敛),无穷积分和瑕积分的性质,Cauchy收敛准则,比较判别法,积分第二中值定理,Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法。

  2、 考试要求

  掌握无穷积分和瑕积分的概念及其敛散性(包括绝对收敛和条件收敛)、无穷积分和瑕积分的性质、积分收敛的比较判别法、Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法,理解Cauchy收敛准则和积分第二中值定理。

  3、 重点与难点

  重点:积分收敛的比较判别法,Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法。

  难点:Cauchy收敛准则,积分第二中值定理。

  第十二章 函数项级数

  1、 考试内容

  函数列一致收敛性概念及其几何意义,函数列一致收敛性的判别法,一致收敛函数列的极限函数的分析性质(连续性、可积性、可微性);函数项级数一致收敛性概念,一致收敛的Cauchy收敛准则,函数项级数一致收敛的必要条件,函数项级数一致收敛性的判别法 (M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法),一致收敛的函数项级数的和函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)。

  2、 考试要求

  掌握函数列一致收敛性概念,理解及其几何意义。掌握函数列一致收敛性的判别方法、一致收敛函数列的极限函数的分析性质(连续性、可积性、可微性);掌握函数项级数一致收敛性概念、一致收敛的Cauchy收敛准则、函数项级数一致收敛的必要条件,能够运用函数项级数一致收敛性的判别法 (M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)判断级数的一致收敛性,理解一致收敛的函数项级数的和函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)并能够正确应用。

  3、 重点与难点

  重点:一致收敛性的判别法 (M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法),一致收敛的函数项级数的和函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)。

  难点:一致收敛的几何意义,一致收敛的Cauchy收敛准则的应用。

  第十三章 幂级数

  1、 考试内容

  幂级数的收敛域和收敛半径,Abel第一定理和第二定理,幂级数和函数的性质(连续性、可积性、可微性),函数的幂级数展开。

  2、 考试要求

  理解Abel第一定理和第二定理,会求幂级数的收敛域和收敛半径,熟练应用幂级数和函数的性质(连续性、可积性、可微性)。

  3、 重点与难点

  重点:幂级数的收敛域和收敛半径的求法,幂级数应用,函数的幂级数展开。

  难点:Abel第一定理和第二定理,函数的幂级数展开。

  第十四章 傅里叶级数

  1、 考试内容

  三角函数系,三角级数的概念,以2p为周期的函数的Fourier级数,Fourier级数的收敛定理,函数的Fourier级数展开法。

  2、 考试要求

  理解三角级数和正交函数系的概念,掌握Fourier级数的系数计算公式,会写出函数的Fourier级数以及奇函数、偶函数的Fourier级数展开式,理解Fourier级数的收敛定理和Riemann-Lebesgue引理。

  3、 重点与难点

  重点:函数的Fourier级数以及奇函数、偶函数的Fourier级数展开式。

  难点:Fourier级数的收敛定理和Riemann-Lebesgue引理。

  第十五章 多元函数的极限与连续

  1、 考试内容

  平面点集的有关概念(区域、距离、聚点、开集和闭集等),二维空间的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理),多元函数的极限和连续性,多元函数的累次极限,有界闭区域上的连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。

  2、 考试要求

  理解平面点集的有关概念(区域、距离、聚点、开集和闭集等)、二维空间的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理),掌握多元函数的极限和连续性、多元函数的累次极限,理解有界闭区域上的连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。

  3、 重点与难点

  重点:多元函数的极限和连续性,有界闭区域上的连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。

  难点:矩形套定理、致密性定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理,多元函数的一致连续性。

  第十六章 偏导数与全微分

  1、 考试内容

  偏导数的概念,全微分的概念,偏导数与微分的关系;多元复合函数的微分法,多元函数一阶微分形式的不变性,高阶偏导数;方向导数的概念及求法,多元函数的Taylor公式。

  2、 考试要求

  掌握偏导数和全微分的概念、偏导数与微分的关系;会利用多元复合函数的微分法求各阶偏导数和一、二阶微分,隐函数组的偏导数的求法;偏导数的几何应用(空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线);理解方向导数的概念,掌握方向导数与可微的关系,会求函数的方向导数,理解多元函数的Taylor公式。

  3、 重点与难点

  重点:多元复合函数的微分法,偏导数与微分的关系,空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线。

  难点:多元复合函数的链式求导法则,Taylor公式。

  第十七章 隐函数存在定理

  1、 考试内容

  单个方程的隐函数存在定理,方程组的隐函数组存在定理,反函数组存在定理。

  2、 考试要求

  理解隐函数(组)存在定理,会求隐函数(组)的偏导数。

  3、 重点与难点

  重点:隐函数存在定理。

  难点:方程组的隐函数组存在定理。

  第十八章 极值和条件极值

  1、 考试内容

  多元函数极值(条件极值与无条件极值)概念,稳定点概念,多元函数无条件极值的必要条件和充分条件,求多元函数无 条件极值的Lagrange乘数法。

  2、 考试要求

  掌握多元函数极值(条件极值与无条件极值)概念和稳定点概念,会求多元函数无条件极值及条件极值,掌握Lagrange乘数法。

  3、 重点与难点

  重点:稳定点的求法及极值的判断。

  难点:Lagrange乘数法,函数极值的判断。

  第十九章 含参变量的积分

  1、 考试内容

  含参变量的正常积分概念,含参变量的正常积分的分析性质(连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理),含参变量的正常积分的计算;含参变量的广义积分的一致收敛概念,含参变量的广义积分的一致收敛的判别法(Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理);一致收敛积分的分析性质(连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理);Euler积分:Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。

  2、 考试要求

  掌握含参变量的正常积分的分析性质,并能够应用于含参变量的正常积分的计算;掌握含参变量的广义积分的一致收敛的判别法、一致收敛积分的分析性质;掌握Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。

  3、 重点与难点

  重点:含参变量的正常和广义积分的分析性质,一致收敛性的判别。

  难点:含参变量的积分的计算和一致收敛性的判别。

  第二十章 重积分

  1、 考试内容

  重积分的概念及其基本性质,化重积分为累次积分的计算方法;重积分的变量代换,极坐标变换,柱坐标变换,球坐标变换;曲面面积的计算,重积分在物理中的应用(质心,转动惯量等)。

  2、 考试要求

  掌握重积分的概念及其基本性质,会利用化重积分为累次积分及变量代换计算重积分;掌握曲面面积的计算公式,会利用重积分表示物理中的质心,转动惯量等。

  3、 重点与难点

  重点:利用化重积分为累次积分及变量代换计算重积分。

  难点:化重积分为累次积分,曲面面积的计算。

  第二十一章 曲线积分与曲面积分

  1、考试内容

  第一型曲线积分的概念,第一型曲线积分的性质(线性性与路径可加性),第一型曲线积分的计算公式及其应用;第一型曲面积分的概念、计算及应用。第二型曲线积分的概念及性质(方向性、线性性与路径可加性),第二型曲线积分的计算公式及其应用;理解曲面的侧的相关概念,第二型曲面积分的概念及性质(方向性、线性性与曲面可加性),第二型曲面积分的计算及应用。

  2、 基本要求

  理解第一、二型曲线积分与曲面积分的概念;掌握第一、二型曲线积分与曲面积分的计算。

  3、 重点与难点

  重点:曲线积分的计算,曲面积分的计算。

  难点:第二型曲面积分的概念及其计算。

  第二十二章 各种积分间的联系与场论初步

  1、 考试内容

  Green公式,用Green公式计算曲线积分及求区域的面积,曲线积分与路径无关的条件及其应用;Gauss公式及其应用,Stokes公式及其应用;梯度场、散度场、旋度场的概念、意义、计算及简单应用。

  2、 考试要求

  掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法;理解曲线积分与路径无关的条件;理解梯度场、散度场、旋度场的概念。

  3、重点与难点

  重点:利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分。

  难点:Green公式、Gauss公式、Stokes公式及它们的应用。

  主要参考书:

  《数学分析》(上、下),华东师大数学系编,高等教育出版社

  海南师范大学硕士研究生入学考试初试科目

  考 试 大 纲

科目名称:

高等代数

适用专业:

数学各专业

     

  一、考试形式与试卷结构

  (一)试卷满分 及 考试时间

  本试卷满分为 150分,考试时间为180分钟。

  (二)答题方式

  答题方式为闭卷、笔试。

  试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。

  二、考查目标(复习要求)

  全日制攻读硕士学位研究生入学考试高等代数科目考试内容包括高等代数一门学科基础课程,要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法,并能运用相关理论和方法分析、解决相关的实际问题。

  三、考试内容概要

  第一章:一元多项式

  1、考试内容

  数域;一元多项式;整除的概念;最大公因式;;因式分解定理;重因式;多项式函数;复系数与实系数多项式的因式分解;有理系数多项式。

  2、考试要求

  (1) 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。

  (2) 正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。

  (3)正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。

  (4)正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。

  (5)正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。

  (6)正确理解和掌握k重因式的定义。

  (7)掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。

  (8)理解代数基本定理。熟练掌握复(实)系数多项式分解定理及标准分解式。

  (9)深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。

  3、重点、难点

  重点:整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复(实)系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。

  难点: 整除理论;多项式的因式分解理论

  第二章:行列式

  1、考试内容

  排列;n级行列式;n级行列式的性质;行列式的计算;行列式按一行(列)展开;克兰姆法则。

  2、考试要求

  (1)理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。

  (2)深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。

  (3)熟练掌握行列式的基本性质。

  (4)正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念,能利用行列式性质计算一些简单行列式。

  (5)正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行(列)展开的公式。掌握“化三角形法”,“递推降阶法”,“数学归纳法”等计算行列式的技巧。

  (6)熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。

  3、重点、难点

  重点:n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行(列)展开的公式、克莱姆(Cramer)法则

  难点:行列式的计算

  第三章:线性方程组

  1、考试内容

  消元法;n维向量组;线性相关性;矩阵的秩;线性方程组有解判别定理;线性方程组解的结构

  2、考试要求

  (1)正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵,线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。

  (2)理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。

  (3)正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义,会求向量组的一个极大无关组。

  (4)深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。

  (5)熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。

  (6)正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。

  3、重点、难点

  重点:线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。

  难点:线性相关性

  第四章:矩阵

  1、考试内容

  矩阵的概念;矩阵的运算;矩阵乘积的行列式与秩;矩阵的逆;矩阵的分块;初等矩阵;分块矩阵的初等变换

  2、考试要求

  (1) 了解矩阵概念产生的背景。

  (2) 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。

  (3) 掌握矩阵乘积的行列式定理,矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。

  (4) 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念,掌握一个n级方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。

  (5) 理解分块矩阵的意义,掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。

  (6) 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系,熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件;会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。

  (7) 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系,会求分块矩阵的逆。

  3、重点、难点

  重点:矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。

  难点:可逆矩阵及求逆矩阵

  第五章:二次型

  1、考试内容

  二次型的矩阵表示;标准形;唯一性;正定二次型。

  2、考试要求

  (1) 正确理解二次形和非退化线性替换的概念;掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系;掌握矩阵的合同概念及性质。

  (2) 理解二次型的标准形,掌握化二次型为标准型的方法(配方法、初等变换法)。

  (3) 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性;掌握惯性定理。

  (4) 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念;熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。

  3、重点、难点

  重点:非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。

  难点:实数域上二次型的规范形及正定二次型。

  第六章:线性空间

  1、考试内容

  集合与映射;线性空间的定义与简单性质;维数,基与坐标;基变换与坐标变换;线性子空间;子空间的交与和;子空间的直和;线性空间的同构。

  2、考试要求

  (1) 掌握映射、单射、满射(映上的映射)、一一映射、逆映射等概念。

  (2) 正确理解和掌握线性空间的定义及性质;会判断一个代数系统是否是线性空间。

  (3) 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念;正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。

  (4) 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。

  (5) 正确理解线性子空间的定义及判别定理;掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。

  (6) 掌握子空间的交与和的定义及性质;熟练掌握维数公式。

  (7) 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。

  (8) 理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

  3、重点、难点

  重点:线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

  难点:线性空间的概念;子空间的直和

  第七章:线性变换

  1、考试内容

  线性变换的定义;线性变换的运算;线性变换的矩阵;特征值与特征向量;对角矩阵;

  线性变换的值域与核;不变子空间; 最小多项式

  2、考试要求

  (1) 理解和掌握线性变换的定义及性质。

  (2) 掌握线性变换的运算及运算规律,理解线性变换的多项式。

  (3) 深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系;掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。

  (4) 理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质;会求一个矩阵的特征值和特征向量;掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。

  (5) 掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。

  (6) 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念;深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。

  (7)  掌握不变子空间的定义;会判定一个子空间是否是A-子空间;深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。

  (8) 正确理解最小多项式的概念;掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。

  3、重点、难点

  重点:线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、最小多项式。

  难点:特征值和特征向量;线性变换的值域、核;不变子空间与线性变换矩阵化简

  第八章:欧几里得空间

  1、考试内容

  定义与基本概念;标准正交基;同构;正交变换;子空间;实对称矩阵的标准形;

  向量到子空间的距离。

  2、考试要求

  (1) 深刻理解欧氏空间的定义及性质;掌握向量的长度,两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质,使学生掌握各种概念之间的联系和区别。

  (2) 正确理解正交向量组、标准正交基的概念,掌握施密特正交化过程,并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

  (3) 深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。

  (4) 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系,让学生掌握正交变换与向量的长度,标准正交基,正交矩阵间的关系。

  (5) 正确理解和掌握两个子空间正交的概念,掌握正交与直和的关系,及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。

  (6) 深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵,并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准形。

  3、重点、难点

  重点:欧氏空间的定义及性质,向量的长度,两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质,正交向量组、标准正交基的概念,施密特正交化,欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系,正交变换的概念及几个等价关系,实对称矩阵的标准形,用正交变换化实二次型为标准形。

  难点:施密特正交化;正交变换

  主要参考书:

  《高等代数》,北京大学编,高等教育出版社

  海南师范大学硕士研究生入学考试复试科目

  考 试 大 纲

科目名称:

数学综合

适用专业:

数学各专业

     

  一、考试形式与试卷结构

  (一)试卷满分 及 考试时间

  本试卷满分为 100分,考试时间为120分钟。

  (二)答题方式

  答题方式为闭卷、笔试。

  试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。

  (三)试卷内容结构(考试的内容比例)

  综合考试科目各部分内容所占分值为

  第一部分 实变函数 约30分

  第二部分 常微分方程 约35分

  第三部分 概率论与数理统计约35分

  二、考查目标(复习要求)

  全日制攻读硕士学位研究生入学考试概率论与数理统计科目考试内容包括概率论和数理统计两门学科基础课程,要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法,并能运用相关理论和方法分析、解决相关的实际问题。

  三、考试内容概要

  第一部分:实变函数

  第一章 集合

  1. 考试内容

  §1 集合概念:集合的描述与表示,子集,集合的相等。

  §2 集合的运算:集合的并、交、差、补运算及其性质,笛·摩根公式:上限集、下限集及其性质。

  §3 对等与基数:映射、单射、满射、双射,逆映射及其性质;对等及其性质;基数与基数的比较,伯恩斯坦定理。

  §4 可数集合:可数集的定义及等价条件,可列集及其性质,可列集的判断证明。

  §5 不可数集合: 不可数集的存在性, 连续基数及其性质,连续基数的判断证明,基数无最大者。

  2. 考试要求

  ⑴ 理解集合的并、交、差、补、上限集于下限集等概念,熟练掌握集合的各种运算,掌握证明集合间包含与相等关系的一般方法。

  ⑵ 了解基数的概念,掌握证明两个集合对等的方法,会用伯恩斯坦定理,理解有限集与无限集的特征。

  ⑶ 理解可数集与具有连续基数的集的概念及其性质,掌握可数集, 连续基数的判断证明方法。

  3. 重点、难点

  重点 集合的运算及其运性质,集合的对等,基数的比较,可数集与具有连续基数的集合的性质。

  难点 上限集、下限集、可数集, 连续基数的判断证明。

  第二章 点集

  1. 考试内容

  §1 度量空间,n维欧氏空间:度量空间概念、邻域及其性质、收敛点列、点集的距离与直径、区间概念。

  §2 聚点,内点,界点:内电,外点,边界点,聚点及孤立点,聚点及其等价条件,边界,内核、导集与闭包概念及其简单性质。Bolzano-Weierstrass定理,

  §3 开集、闭集、完备集:开集与闭集的及其运算性质,海涅-波雷尔有限覆盖定理,

  紧集、自密集与完备集。

  §4. 直线上的开集、闭集和完备集的构造:直线上开集、闭集、完备集的构造。

  平面上开集的构造,康托(Cantor)集的构造与性质。

  2. 考试要求

  ⑴ 理解邻域、内点、聚点、开集、闭集等基本概念及聚点的等价条件,

  ⑵ 熟练掌握开集、闭集的性质,掌握开集、闭集的判断证明方法。了解直线上开集的构造,知道直线上闭集和完备集的构造。

  ⑶ 了解Bolzano-Weierstarss定理,Borel有限覆盖定理。

  ⑷ 了解Cantor集的构造及其性质。

  3. 重点、难点

  重点 聚点及其等价条件,Bolzano-Weierstrass定理,直线上开集的构造,Borel有限覆盖定理,Cantor集。

  难点 聚点、内点、开集、闭集、完备集等概念,Cantor集的构造及其性质。

  第三章、测度论

  1. 考试内容

  §1 外测度:外测度及其性质,

  §2 可测集:可测集的定义,卡拉皆屋独利条件,可测集的运算性质,单调可测集列极限的测度。

  §3 可测集类:区间、开集、闭集皆可测、G6型集,Fs型集,可测集同开集、闭集、 G6 型集、Fs型集之间的关系。

  2. 考试要求

  ⑴ 了解勒贝格外测度的定义及主要性质。

  ⑵ 理解勒贝格可测集的定义并掌握其运算。

  ⑶ 理解勒贝格测度的可列可加性以及单调可测集列极限的测度。

  ⑷ 了解常见的可测集合,知道勒贝格可测集与开集、闭集、 G6 型集与 Fs型集之间的关系。

  3. 重点、难点

  重点 勒贝格可测集的运算性质,单调可测集列极限的测度,可测集同开集、闭集、 G6 型集以及 Fs型集之间的关系。

  难点 可测集概念的引入与可测集的构造。

  第四章、可测函数

  1. 考试内容

  §1 可测函数及其性质:点集上的函数:广义实数系 R=R∪(±∞)的运算。可测函数的定义及等价条件,连续函数与简单函数皆可测,可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性,可测函数同简单函数列的关系,“几乎处处”的概念。

  §2 叶果洛夫定理:可测函数列的收敛性, 叶果洛夫定理。

  §3 可测函数的构造:鲁金定理(两种形式)

  §4 依测度收敛:依测度收敛,依测度收敛与几乎处处收敛互不包含的例子,勒贝格定理,黎斯定理,依测度收敛极限的唯一性。

  2. 考试要求

  ⑴ 了解点集上的连续函数、函数列的上极限与下极限、“几乎处处”等概念。

  ⑵ 理解可测函数的定义及其在代数运算与极限运算下的封闭性,可测函数可表为简单函数列的极限。

  ⑶ 了解鲁金定理,知道可测函数同连续函数之间的关系。

  ⑷ 理解可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛及依测度收敛的概念及它们之间的相互关系。

  3. 重点、难点

  重点 可测函数定义及等价条件,可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性,依测度收敛与几乎处处收敛的关系,鲁金定理。

  难点 叶果洛夫定理,黎斯定理,鲁金定理。

  第五章、勒贝格积分

  1. 考试内容

  §5.1 黎曼积分:黎曼积分定义,达布定理,

  §5.2 勒贝格积分的定义:测度有限集合上有界函数的勒贝格大和与小和,上积分与下积分,有界勒贝格可积函数,有界可积的充要条件是有界可测,有界勒贝格可积函数的运算性质,勒贝格积分与黎曼积分的关系。

  §5.3 勒贝格积分的性质:有界函数积分的积分区域与被积函数的有限可加性,积分的线性性质。积分的单调性与绝对可积性,

  §5.4 一般可积函数:非负函数积分存在与可积的定义,一般函数积分存在与可积定义,勒贝格积分的性质。

  §5.5 积分的极限定理:勒贝格控制收敛定理,列维渐升函数列积分定理,勒贝格逐项积分定理,可积函数积分区域可列可加性,法都引理,广义黎曼可积与勒贝格可积的关系。

  §5.6 勒贝格积分的几何意义. 富比尼定理:直积、截面的概念及性质,勒贝格积分的几何意义.,富比尼定理。

  2. 考试要求

  ⑴ 理解勒贝格积分的定义及其基本性质,特别是绝对可积性和绝对连续性是勒贝格积分的重要特征。

  ⑵ 理解勒贝格控制收敛定理、勒贝格逐项积分定理、列维定理和法都引理,并掌握它们的应用。

  ⑶ 知道勒贝格积分与黎曼积分的关系。

  ⑷ 知道直积、截面的概念及性质,熟识勒贝格积分的几何意义.,了解富比尼定理。

  3. 重点、难点

  重点 勒贝格积分的性质,积分极限定理。

  难点 勒贝格积分的性质及其应用。

  第二部分:常微分方程

  第一章 绪 论

  1. 考试内容

  某些物理过程的数学模型、基本概念。

  2.考试要求

  向学生介绍微分方程的轮廓。

  3.重点与难点

  基本概念、导出微分方程的例子。

  §1. 某些物理过程的数学模型

  §2. 基本概念

  第二章 一阶微分方程的初等解法

  1. 考试内容

  变量分离方程与变量变换、线性方程与常数变易法、恰当方程与积分因子、一阶隐方程与参数表示。

  2.考试要求

  要求学生学完本章后能迅速区分方程的类型,并根据方程的类型用相应的方法熟练地求出通解。3.重点与难点

  变量变换与变量分离方程、线性方程与常数变易法、恰当方程与积分因子。

  §1. 变量分离方程与变量变换

  §2. 线性方程与常数变易法

  §3. 恰当方程与积分因子

  §4. 一阶隐方程与参数表示

  第三章 一阶微分方程的解的存在定理

  1. 考试内容

  解的存在唯一性定理与逐步逼近法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、奇解。

  2.考试要求

  要求熟悉定理的内容和存在唯一性定理的证明,要求掌握逐步逼近法与Gronwall引理。

  3.重点与难点

  解的存在唯一性定理与逐步逼近法。

  §1. 解的存在唯一性定理与逐步逼近法

  §2. 解的延拓

  §3. 解对初值的连续性和可微性定理

  §4. 奇解

  第四章 高阶微分方程

  1. 考试内容

  线性微分方程的一般理论、常系数线性方程的解法、高阶方程的降阶和幂级数解法。

  2.考试要求

  要求熟练的掌握解的基本定理和常系数方程的解法。

  3.重点与难点

  常系数方程的解法,幂级数解法。

  §1. 线性微分方程的一般理论

  §2. 常系数线性方程的解法

  §3. 高阶方程的降阶和幂级数解法

  第五章 线性微分方程组

  1. 考试内容

  线性微分方程组的一般理论,常系数微分方程组。

  2.考试要求

  掌握方程组的基本定理和常系数方程组的解法。

  3.重点与难点

  常系数方程组的解法。

  §1. 存在唯一性定理

  §2. 线性微分方程组的一般理论

  §3. 线性微分方程组的一般理论

  第三部分:概率论与数理统计

  第一章 概率论的基本概念

  1. 考试内容

  §1 随机试验。

  §2 样本空间、随机事件:样本空间,随机事件,事件间的关系及其运算。

  §3 频率与概率:频率及其性质,概率的定义,概率的性质。

  §4 等可能概型(古典概型)。

  §5 条件概率:条件概率,乘法公式,全概率公式和贝叶斯公式。

  §6 独立性。

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握:事件的关系与运算,概率的性质,等可能概型,乘法公式,全概率公式和

  贝叶斯公式,会用它们解答相关的问题。

  ⑵ 熟悉:随机事件;概率、条件概率、事件的独立性的概念。

  ⑶ 了解:随机试验、样本空间的概念

  3. 重点、难点

  重点:事件的关系与运算,概率的性质,古典概型,条件概率,全概率公式和贝叶斯公式;事件的独立性。

  难点:全概率公式和贝叶斯公式;

  第二章 随机变量及其分布

  1. 考试内容

  §1 随机变量

  §2 离散型随机变量:离散型随机变量及其分布律,常用分布(0-1分布,伯努利试验、二项分布,泊松分布)

  §3 随机变量的分布函数:分布函数及其性质,离散型随机变量的分布函数。

  §4 连续型随机变量其概率密度:连续型随机变量及其概率密度,常用分布(均匀分布,指数分布,正态分布)。

  §5 随机变量函数的分布:离散型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布。

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握: 随机变量的分布律、分布函数、密度函数的基本性质,随机变量函数的分

  布,会用它们解答相关的问题。

  ⑵ 熟悉: 随机变量的分布律、分布函数、密度函数、随机变量函数的概念;常用分布(0-1分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布);标准正态分布表的使用。

  ⑶ 了解:随机变量的概念;常用分布相关信息、二项分布、泊松分布与正态分布的渐近关系。

  3. 重点、难点

  重点:随机变量的分布律、分布函数、密度函数的基本性质;常用分布;随机变量函数的分布。

  难点:随机变量函数的分布。

  第三章 多维随机变量及其分布

  1. 考试内容

  §1 二维随机变量:二维随机变量及其联合分布函数,二维离散型随机变量的联合分布

  律,二维连续型随机变量及其联合概率密度,n维随机变量及其分布函数

  §2 边缘分布:二维离散型随机变量的边缘分布律,二维连续型随机变量及其边缘概率密度。

  §3 条件分布:二维离散型随机变量的条件分布律,二维连续型随机变量及其条件概率密度。

  §4 相互独立的随机变量。

  §5 两个随机变量的函数的分布:X+Y的分布,max(X,Y)与min(X,Y)的分布。

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握:两个随机变量的联合分布、联合分布律、联合概率密度与其边缘分布、边缘

  分布率、边缘概率密度的关系;随机变量独立的条件;二维均匀分布和二维正态分布。

  ⑵ 熟悉:随机变量的联合分布函数的概念和基本性质;相互独立的随机变量概念,

  ⑶ 了解:条件分布,二维随机变量的函数的分布,

  3. 重点、难点

  重点:两个随机变量的联合分布的边缘分布;随机变量独立的条件;二维均匀分布和二维正态分布

  难点:二维随机变量的函数的分布。

  第四章 随机变量的数字特征

  1. 考试内容

  §1 数学期望:数学期望的定义,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质。

  §2 方差:方差、标准差的定义,方差的性质,切比雪夫不等式。

  §3 协方差及相关系数。

  §4 矩、协方差矩阵。

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握: 0—1)分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的数字特征,随机变量函数的期望,期望、方差的性质,切比雪夫不等式。

  ⑵ 熟悉;随机变量数字特征的概念,协方差及相关系数的意义和计算。

  ⑶ 了解:矩、协方差矩阵。

  3. 重点、难点

  重点:常用分布的数字特征,随机变量函数的期望,期望、方差的性质,切比雪夫不等式,协方差及相关系数。

  难点:随机变量函数的期望, 矩、协方差矩阵。

  第五章 大数定律及中心极限定理

  1. 考试内容

  §1 大数定律

  §2 中心极限定理

  2. 考试要求

  了解:大数定律及中心极限定理。

  3. 重点、难点

  重点:大数定律及中心极限定理

  难点:大数定律及中心极限定理。

  第六章 抽样分布

  1. 考试内容

  §1 随机样本

  §2 抽样分布:统计量,抽样分布,个重要抽样分布( c2分布, t分布, F分布),正态总体的样本均值与样本方差的分布。

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握:正态总体的样本均值与样本方差的分布。

  ⑶ 熟悉:总体, 个体, 样本, 统计量概念,常用统计量,抽样分布分位点的概念,会

  查表求分位点。

  ⑶ 了解:抽样分布,c2分布、t分布、F分布的定义及相关性质。

  3. 重点、难点

  重点:总体, 个体, 样本, 统计量概念,常用统计量,三个重要抽样分布,正态总体的样本均值与样本方差的分布。

  难点:抽样分布。

  第七章 参数估计

  1. 考试内容

  §1 点估计:矩估计法,最大似然估计法。

  §2 基于截尾样本的最大似然估计

  §3 估计量的评选标准:无偏估计量,有效性,相合性。

  §4 区间估计。

  §5 正态总体的均值与方差的区间估计:均值m的置信区间,方差s的置信区间;两个正态总体均值差的置信区间,方差比的置信区间。

  §6 0-1分布参数的区间估计。

  §7 单侧置信区间

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握:矩法估计和极大似然估计法,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间,会验证估计量的无偏性。

  ⑶ 熟悉:参数的点估计、置信区间的概念,估计量的无偏性概念。

  ⑶ 了解:基于截尾样本的最大似然估计,有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,0-1分布参数的区间估计,单侧置信区间。

  3. 重点、难点

  重点:矩法估计和极大似然估计法,单个正态总体均数与方差的区间估计方法。

  难点:极大似然比法,估计量的评选标准。

  第八章 假设检验

  1. 考试内容

  §1 假设检验

  §2 正态总体均值的假设检验:单个正态总体的z检验,t检验;两个正态总体的t检

  验;

  §3 正态总体方差的检验:单个正态总体的c2检验,两个正态总体的F检验。

  §4 置信区间与假设检验之间的关系

  §5 样本容量的选取

  §6 分布拟合检验:c2拟合检验法,偏峰、峰度检验。

  §7 秩和检验

  2. 考试要求

  ⑴ 掌握:正态总体均值、方差的假设检验法。

  ⑵ 熟悉:假设检验的基本概念、基本思想方法。

  ⑶ 了解:置信区间与假设检验之间的关系,假设检验可能产生的两类错误,分布拟合检验,秩和检验。

  3. 重点、难点

  重点:正态总体均值、方差的假设检验法。

  难点:假设检验可能产生的两类错误。

  参考教材或主要参考书:

  《概率论与数理统计》,梁之舜等编,高等教育出版社

  《实变函数与泛函分析基础》(第二版)程其襄张奠宙 魏国强 胡善文 王漱石 编 高等教育出版社 2003年7月第2版

  《实变函数论》(第二版)江泽坚 吴智泉编 高等教育出版社 1994年6月第2版;

  《实变函数论》徐荣权 金长泽主编 辽宁人民出版社 1984年10月第1版;

  《实变函数与泛函分析概要》郑维行 王声望编 高等教育出版社 1989年5月第2版;

  《常微分方程》,王高雄等编,高等教育出版社

  海南师范大学硕士研究生入学考试加试科目

  考 试 大 纲

科目名称:

复变函数

适用专业:

数学各专业

     

  一、考试形式与试卷结构

  (一)试卷满分 及 考试时间

  本试卷满分为 100分,考试时间为120分钟。

  (二)答题方式

  答题方式为闭卷、笔试。

  试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。

  二、考查目标(复习要求)

  全日制攻读硕士学位研究生入学考试复变函数科目考试内容包括复变函数一门学科基础课程,要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法,并能运用相关理论和方法分析、解决相关的实际问题。

  三、考试内容概要

  第一章 复数

  1、考试内容

  复数的和与乘积,复数基本性质,复数的模,共扼复数,复数的指数形式,用指数形式表示复数的乘积和商,复数的方根,复平面上的点和区域概念。

  2、考试要求

  熟悉复数的几种表示法,复数的运算及其三角不等式的应用.复平面,复平面的点集,区域。

  3、重点和难点

  重点:复数的表示,区域的概念。

  难点:复数的方根。

  第二章 复数复变函数

  1、考试内容

  复变函数,映射,指数函数下的映射,复变函数的极限,极限定理,关于无穷远点的极限,复变函数的连续,复变函数的导数定义,复变函数的微分,柯西黎曼等式,微分的充分条件,极坐标下的柯西黎曼等式,函数的解析性,关于函数解析的例题,调和函数。

  2、 考试要求

  掌握复变函数的概念,能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射,能把一个复变函数看成两个实的二元函数;能精确的叙述复变函数的极限概念,并直观的理解起意义;掌握复变函数的连续性概念和基本性质;理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系;熟练掌握解析函数的C-R条件.能运用次日条件判定函数的解析性;熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式;理解扩充复平面和无穷远点的概念。

  3、重点与难点

  重点:解析函数的定义、解析函数的充要条件和柯西黎曼等式。

  难点:解析概念的理解。

  第三章 初等函数

  1、考试内容

  指数函数,对数函数,对数函数的分支和导数,对数函数的一些性质,复指数,三角函数,双曲函数,反三角函数和双曲函数。

  2、考试要求

  联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。

  3、重点与难点

  重点:复变函数初等函数的特殊性质。

  难点:多值函数的分支,支割线。

  第四章 复变函数的积分

  1、考试内容

  导数定义,定积分的的概念,Contours,Contour积分,原函数,柯西古莎定理,柯西古莎定理的证明,单连通域和多连通域,柯西积分公式,解析函数的导数问题,刘维尔定理和代数基本定理,最大模定理。

  2、考试要求

  理解复积分的概念;理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式,认识以上定理和公式的作用,了解其证明方法;理解刘维尔定理、莫勒拉定理和代数基本定理,了解证明方法;熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。

  3、重点与难点

  重点:柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。

  难点:计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。

  第五章 复变函数的级数

  1、考试内容

  复数序列的收敛,复级数的收敛,泰勒级数,罗朗级数,复幂级数的绝对一致收敛,复幂级数和函数的连续性,幂级数的积分和微分,唯一性定理,幂级数的乘法和除法运算。

  2、考试要求

  理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念;理解复变函数项级数的逐项可导性,与微积分学的相应定理比较,认识其条件结论的强弱;熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法;熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法;掌握解析函数零点和级别的求法。

  3、重点与难点

  重点:幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。将函数在一点展成幂级数的方法。解析函数的唯一性定理。将函数展成罗朗级数的方法。

  难点:利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。

  第六章 留数和极点

  1、考试内容

  留数,柯西的留数基本定理,孤立奇点的三种类型,极点的留数,解析函数的零点,零点与极点,孤立点附近的函数的属性。

  2、考试要求

  熟练掌握判断奇点类别的方法;留数的概念与计算;留数基本定理。

  3、重点与难点

  重点:计算留数的方法,留数基本定理。

  难点:孤立奇点类别的识别。

  第七章 留数的应用

  1、考试内容

  留数的应用,留数在计算某些实积分中的应用,辐角定理及儒歇定理。

  2、考试要求

  掌握留数在计算某些实积分中的应用,理解辐角定理及儒歇定理。

  3、重点与难点

  重点:留数的应用。

  难点:辐角定理及儒歇定理。

  参考教材或主要参考书:

  《复变函数》,钟玉泉编,高等教育出版社

  海南师范大学硕士研究生入学考试加试科目

  考 试 大 纲

科目名称:

实变函数

适用专业:

数学各专业

     

  一、考试形式与试卷结构

  (一)试卷满分 及 考试时间

  本试卷满分为 100分,考试时间为120分钟。

  (二)答题方式

  答题方式为闭卷、笔试。

  试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。

  二、考查目标(复习要求)

  全日制攻读硕士学位研究生入学考试实变函数科目考试内容包括实变函数一门学科基础课程,要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法,并能运用相关理论和方法分析、解决相关的实际问题。

  三、考试内容概要

  第一章 集合

  1. 考试内容

  §1 集合概念:集合的描述与表示,子集,集合的相等。

  §2 集合的运算:集合的并、交、差、补运算及其性质,笛·摩根公式:上限集、下限集及其性质。

  §3 对等与基数:映射、单射、满射、双射,逆映射及其性质;对等及其性质;基数与基数的比较,伯恩斯坦定理。

  §4 可数集合:可数集的定义及等价条件,可列集及其性质,可列集的判断证明。

  §5 不可数集合: 不可数集的存在性, 连续基数及其性质,连续基数的判断证明,基数无最大者。

  2. 考试要求

  ⑴ 理解集合的并、交、差、补、上限集于下限集等概念,熟练掌握集合的各种运算,掌握证明集合间包含与相等关系的一般方法。

  ⑵ 了解基数的概念,掌握证明两个集合对等的方法,会用伯恩斯坦定理,理解有限集与无限集的特征。

  ⑶ 理解可数集与具有连续基数的集的概念及其性质,掌握可数集, 连续基数的判断证明方法。

  3. 重点、难点

  重点 集合的运算及其运性质,集合的对等,基数的比较,可数集与具有连续基数的集合的性质。

  难点 上限集、下限集、可数集, 连续基数的判断证明。

  第二章 点集

  1. 考试内容

  §1 度量空间,n维欧氏空间:度量空间概念、邻域及其性质、收敛点列、点集的距离与直径、区间概念。

  §2 聚点,内点,界点:内电,外点,边界点,聚点及孤立点,聚点及其等价条件,边界,内核、导集与闭包概念及其简单性质。Bolzano-Weierstrass定理,

  §3 开集、闭集、完备集:开集与闭集的及其运算性质,海涅-波雷尔有限覆盖定理,

  紧集、自密集与完备集。

  §4. 直线上的开集、闭集和完备集的构造:直线上开集、闭集、完备集的构造。

  平面上开集的构造,康托(Cantor)集的构造与性质。

  2. 考试要求

  ⑴ 理解邻域、内点、聚点、开集、闭集等基本概念及聚点的等价条件,

  ⑵ 熟练掌握开集、闭集的性质,掌握开集、闭集的判断证明方法。了解直线上开集的构造,知道直线上闭集和完备集的构造。

  ⑶ 了解Bolzano-Weierstarss定理,Borel有限覆盖定理。

  ⑷ 了解Cantor集的构造及其性质。

  3. 重点、难点

  重点 聚点及其等价条件,Bolzano-Weierstrass定理,直线上开集的构造,Borel有限覆盖定理,Cantor集。

  难点 聚点、内点、开集、闭集、完备集等概念,Cantor集的构造及其性质。

  第三章、测度论

  1. 考试内容

  §1 外测度:外测度及其性质,

  §2 可测集:可测集的定义,卡拉皆屋独利条件,可测集的运算性质,单调可测集列极限的测度。

  §3 可测集类:区间、开集、闭集皆可测、G6型集,Fs型集,可测集同开集、闭集、 G6 型集、Fs型集之间的关系。

  2. 考试要求

  ⑴ 了解勒贝格外测度的定义及主要性质。

  ⑵ 理解勒贝格可测集的定义并掌握其运算。

  ⑶ 理解勒贝格测度的可列可加性以及单调可测集列极限的测度。

  ⑷ 了解常见的可测集合,知道勒贝格可测集与开集、闭集、 G6 型集与 Fs型集之间的关系。

  3. 重点、难点

  重点 勒贝格可测集的运算性质,单调可测集列极限的测度,可测集同开集、闭集、 G6 型集以及 Fs型集之间的关系。

  难点 可测集概念的引入与可测集的构造。

  第四章、可测函数

  1. 考试内容

  §1 可测函数及其性质:点集上的函数:广义实数系 R=R∪(±∞)的运算。可测函数的定义及等价条件,连续函数与简单函数皆可测,可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性,可测函数同简单函数列的关系,“几乎处处”的概念。

  §2 叶果洛夫定理:可测函数列的收敛性, 叶果洛夫定理。

  §3 可测函数的构造:鲁金定理(两种形式)

  §4 依测度收敛:依测度收敛,依测度收敛与几乎处处收敛互不包含的例子,勒贝格定理,黎斯定理,依测度收敛极限的唯一性。

  2. 考试要求

  ⑴ 了解点集上的连续函数、函数列的上极限与下极限、“几乎处处”等概念。

  ⑵ 理解可测函数的定义及其在代数运算与极限运算下的封闭性,可测函数可表为简单函数列的极限。

  ⑶ 了解鲁金定理,知道可测函数同连续函数之间的关系。

  ⑷ 理解可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛及依测度收敛的概念及它们之间的相互关系。

  3. 重点、难点

  重点 可测函数定义及等价条件,可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性,依测度收敛与几乎处处收敛的关系,鲁金定理。

  难点 叶果洛夫定理,黎斯定理,鲁金定理。

  第五章、勒贝格积分

  1. 考试内容

  §5.1 黎曼积分:黎曼积分定义,达布定理,

  §5.2 勒贝格积分的定义:测度有限集合上有界函数的勒贝格大和与小和,上积分与下积分,有界勒贝格可积函数,有界可积的充要条件是有界可测,有界勒贝格可积函数的运算性质,勒贝格积分与黎曼积分的关系。

  §5.3 勒贝格积分的性质:有界函数积分的积分区域与被积函数的有限可加性,积分的线性性质。积分的单调性与绝对可积性,

  §5.4 一般可积函数:非负函数积分存在与可积的定义,一般函数积分存在与可积定义,勒贝格积分的性质。

  §5.5 积分的极限定理:勒贝格控制收敛定理,列维渐升函数列积分定理,勒贝格逐项积分定理,可积函数积分区域可列可加性,法都引理,广义黎曼可积与勒贝格可积的关系。

  §5.6 勒贝格积分的几何意义. 富比尼定理:直积、截面的概念及性质,勒贝格积分的几何意义.,富比尼定理。

  2. 考试要求

  ⑴ 理解勒贝格积分的定义及其基本性质,特别是绝对可积性和绝对连续性是勒贝格积分的重要特征。

  ⑵ 理解勒贝格控制收敛定理、勒贝格逐项积分定理、列维定理和法都引理,并掌握它们的应用。

  ⑶ 知道勒贝格积分与黎曼积分的关系。

  ⑷ 知道直积、截面的概念及性质,熟识勒贝格积分的几何意义.,了解富比尼定理。

  3. 重点、难点

  重点 勒贝格积分的性质,积分极限定理。

  难点 勒贝格积分的性质及其应用。

  主要参考书:

  《实变函数》,周民强编,北京大学出版社(第二版)

 

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