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2020年赣南师范大学高等代数考试大纲

  一、试卷满分及考试时间

  试卷满分150分,考试时间3小时

  二、试题题型结构

  计算题,证明题

  三、主要参考书

  《高等代数》,北京大学数学系编,(第三版)高等教育出版社

  四、试卷考查内容比例

  多项式理论(10%)行列式(8%)线性方程组(15%)矩阵(15%)线性空间(10%)

  线性变换(15%)矩阵(7%)欧氏空间(10%)二次型,双线性函数(10%)

  五、考查内容

  (一)多项式

  (1)掌握一般数域上一元多项式的概念。

  (2)理解整除的概念与性质,掌握带余除法定理。

  (3)掌握最大公因式的概念,掌握最大公因式的计算,掌握互素的概念与性质。

  (4)理解不可约多项式的概念和性质,掌握因式分解唯一性定理。

  (5)掌握重因式的概念,掌握多项式有无重因式的判别方法。

  (6)理解多项式根的概念及性质,有无重根的判别方法。

  (7)掌握复数域和实数域上多项式因式分解定理。

  (8)掌握有理系数多项式的基本性质,整系数多项式的有理根的计算,整系数多项式在有理数域上可约的讨论。

  (二)行列式

  (1)掌握排列,逆序,逆序数,奇、偶排列,对换等有关概念及其性质。

  (2)掌握行列式的概念、性质及其基本计算方法。

  (3)掌握Cramer法则和Laplace定理。

  (三)线性方程组

  (1)掌握用消元法解线性方程组。

  (2)掌握向量线性相关性的概念,特别是线性相关和线性无关的概念及其性质,理解向量组的秩的概念及其性质。

  (3)掌握矩阵的秩的概念,理解矩阵的秩和行列式的关系。

  (4)掌握线性方程组有解的判别定理,解的结构问题。

  (四)矩阵

  (1)掌握矩阵的运算及相关性质。

  (2)掌握可逆矩阵的概念,矩阵可逆的充要条件,逆矩阵的计算方法。

  (3)掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念以及它们之间的联系,理解矩阵等价的概念及其充要条件。

  (4)掌握分块矩阵的概念,分块矩阵的乘法,分块矩阵的应用。

  (五)二次型

  (1)掌握二次型的概念,二次型的矩阵。。

  (2)掌握化二次型为标准形的方法,矩阵合同的概念与性质。

  (3)理解实数域和复数域上二次型的标准形及唯一性,惯性定理,复、实对称矩阵的规范型。

  (4)掌握正定和半正定二次型的概念及其判别方法,正定矩阵和半正定矩阵的概念及其性质。

  (六)线性空间

  (1)掌握线性空间的定义和基本性质。

  (2)掌握维数,基,坐标的概念及其计算,理解基与基之间的关系。

  (3)掌握子空间的概念及其判定方法,掌握子空间交与和的概念及其计算,掌握子空间直和的概念及其判定方法。

  (4)理解线性空间同构的概念。

  (七)线性变换

  (1)理解线性变换的定义,掌握线性变换的运算。

  (2)掌握线性变换的矩阵的概念及其计算,掌握有限维线性空间上的线性变换与矩阵的关系。

  (3)理解特征值、特征向量的概念及其性质,掌握特征子空间的定义,掌握特征值与特征向量的计算方法。

  (4)掌握矩阵与对角形矩阵相似的充要条件。

  (5)理解线性变换值域与核的概念及其计算,掌握线性变换的秩与零度之间的关系。

  (6)理解不变子空间的概念。

  (7)理解最小多项式的概念及其计算。

  (八)λ—矩阵

  (1)理解λ—矩阵的概念及λ—矩阵在初等变换下的标准形。

  (2)理解矩阵的不变因子、初等因子的概念及其计算方法。

  (3)掌握矩阵相似的充要条件。

  (4)理解矩阵Jordan标准形的概念及其计算方法。

  (九)欧几里得空间

  (1)掌握欧几里得空间的概念。

  (2)理解正交基、标准正交基的概念,掌握Schimidt正交化过程。

  (3)掌握正交变换的概念及其性质,掌握正交矩阵的概念及其性质。

  (4)理解欧氏空间的子空间的正交补的概念。

  (5)掌握将实对称矩阵正交相似对角形矩阵的方法。

  (6)了解向量到子空间的距离。

  (十)双线性函数

  (1)了解线性函数的基本概念,掌握其基本性质。

  (2)了解双线性函数、对称双线性函数的基本概念和基本性质,会利用矩阵来研究它们。

  (3)能把二次型、欧氏空间中的部分内容统一到双线性函数的概念下来。

 

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