中科院数学与系统科学研究院非线性分析室(基础数学070101)介绍

非线性分析室的研究工作目前主要有以下几个方面：应用科学中的非线性偏微分方程，动力系统及其几何算法，非线性常微分方程理论及其在生命科学中的应用，常微分方程数值分析，现分别介绍如下：应用科学中的非线性偏

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2007-07-09

非线性分析室的研究工作目前主要有以下几个方面：应用科学中的非线性偏微分方程，动力系统及其几何算法，非线性常微分方程理论及其在生命科学中的应用，常微分方程数值分析，现分别介绍如下：

应用科学中的非线性偏微分方程

近年来，肖玲研究员和她的研究小组，主要研究应用科学(如流体力学、等离子物理、半导体物理、气态星体物理等)中提出的非线性偏微分方程组，如 Euler 方程，Euler-Poisson 方程， Navier-Stokes 方程，Navier-Stokes-Poisson 程及其他典型非线性耦合偏微组，建立整体解的定性理论并研究与之相关的各类极限问题。不仅在一维空间变量的 Euler 方程、Euler-Poisson 方程和 Navier-Stokes 方程等方面有一系列在国际上有影响的工作，而且对高维空间变量上述方程组的研究已有很好开端。自1995年以来共发表和接受发表科研论文近50篇，及一本英文专著。绝大多数论文被SCI检索，很多论文受到国内外同行重视、被广泛引用(仅2000年SCI上非自引的次数就有36次)。由于研究工作受到国际同行重视，近年来毕业的4位博士生均有很多机会到欧美访问，与国外同行开展合作研究。目前在读的尚有三位博士生。此外，近年来还培养了四位博士后，已经出站的三位均在各自的科研工作中有非常优异的表现。

动力系统及其几何算法

动力系统及其几何算法主要研究哈密尔顿系统、可逆系统和保体积系统等具有明显几何结构和重要力学、物理背景的常微动力系统。尚在久等研究人员重点研究可积系统的动力学行为在小的保结构扰动下的保持和破坏问题。研究上述系统的保结构离散化(包括哈密尔顿系统的辛几何算法、无源系统的保体积算法和可逆系统的对称算法等）及其动力学以及到具体的科学和工程计算中的应用。已经取得的成果包括：Moser小扭转定理到高维辛映射情形的推广，辛算法的KAM型定理，保体积系统的生成函数理论，无源系统的保体积算法等。其中关于保体积算法和辛算法KAM理论方面的结果被新近出版的专著"E.Hairer, C. Lubich, G. Wanner, Geometric Numerical Integration --- Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer Series in Computational Mathematics 31, 2002"作为重要结果加以引用。是1997年度国家自然科学一等奖获奖项目"哈密尔顿系统的辛几何算法"的主要参加者之一。目前在读硕士生一名。

非线性常微分方程理论及其在生命科学中的应用

应用非线性微分方程定性理论、稳定性理论、分歧理论以及泛函分析的度理论、凸算子理论研究了具有种群迁移的非自治种群模型的渐近性质，发现种群迁移对种群生存影响的许多可能现象。陈兰荪等研究人员这方面的工作填补了国内外这项研究的空白，得到了国内外同行的重视。他们这几年的研究建立了这方面系统的理论与研究方法，在国内外杂志发表论文70余篇(1995-2001)。其中被SCI检索25篇，被EI检索5篇。在数学方法上的研究涉及常微分方程，差分方程，时滞微分方程，泛函微分方程以及脉冲微分方程。特别是近期在脉冲微分方程方面的工作，发现生命系统的脉冲行为对生命现象引起了许多与连续系统有所不同的复杂性。从1998年开始每年招收博士生2人，已毕业研究生5人(其中博士生4人，硕士生1人)，在学博士生6人。

常微分方程数值分析

常微分方程 (ODEs) 数值分析，80年代初冯康先生从生成函数出发提出 Hamilton 系统的保结构算法-辛算法的研究，80年代后期得到 ODEs 数值分析工作者的响应，并且很快成为ODEs数值分析领域非常重要和活跃的一部分。90年代后期，它已经被拓展到偏微分方程(PDEs)Hamilton 系统的保结构算法-多辛算法的研究，并且使偏微分方程数值分析研究进入了一个新的时代-从此开始了微分方程数值解的保结构算法研究。

当前 ODEs 数值分析非常活跃的另一领域是延迟 ODEs 的数值分析研究，多种数值分析杂志上发表这方面的文章很多，我国学者在国际上也享有一定的地位。孙耿研究员在91年开始进入 Hamilton 系统辛方法研究。他在该领域共发表论文八篇(91年-95年发表论文四篇，95年-2001年四篇)。其中有三篇(95年以前两篇，95年后一篇)被世界上有重要影响的三部专著所引用。近期，同尚在久教授合作，证明了冯康先生(84年)对波动方程所导出的五类格式就是当今讨论的多辛格式。

1998年，孙耿研究员首次提出对具有小扰动延迟ODEs的数值分析研究，同所指导的博士生合作完成了六篇论文，已发表四篇，已被接受即将发表两篇。

1998年-2001年培养博士生一名，现在清华大学读博士后。现有在读博士生(同李文林合作)一名；现有在读(联合培养)硕士生一名。

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